高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用

2015届高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用

1|a|

【例3】 (1)(2013·天津高考)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．

2|a|b(2)(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：

76 000 v米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝2.

v＋18 ＋20l①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；

②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 【解析】 (1)分a>0和a<0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．

1|a|1aa＋ba1ba5

当a>0时，＋＝＋＝＋＝＋(＋)≥；

2|a|b2ab4ab44ab41|a|1－aa＋b－a1b－a13

当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋(＋)≥－＋1＝.

2|a|b－2ab－4ab4－4ab441|a|3

综上所述，＋的最小值是.

2|a|b476 00076 000

(2)①F＝≤＝1 900，

20×6.052121＋18v＋＋18

v当且仅当v＝11时等号成立． 76 00076 000

②F＝≤＝2 000，当且仅当v＝10时等号成立，2 000－1 900

20×52100＋18v＋＋18

v＝100.

3

【答案】 (1) (2)①1 900 ②100

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【规律方法】 利用基本不等式求函数最值应注意的问题：

(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．

注意：在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax＋的形式，常用的方法是变量分离和配凑法．

[创新预测]

bxxy122

3．(1)(2014·洛阳统考)若正实数x，y，z满足x＋4y＝z＋3xy，则当取最大值时，zx11

＋－的最大值为( ) 2yz31

A．2 B. C．1 D. 22【解析】 ∵z＝x＋4y－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，∴＝2

2

xyxy1

＝≤1(当22

zx＋4y－3xyx4y＋－3yx111111111121

且仅当x＝2y时等号成立)，此时＋－＝－2，令＝t>0，则＋－＝t－t≤(当

x2yzy2yyx2yz22

且仅当t＝1时等号成立)．故选D.

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【答案】 D

(2)(2014·潍坊联考)已知不等式

x＋2

<0的解集为{x|a

21

＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为( )

mnA．42 B．8 C．9 D．12

x＋2

【解析】 易知不等式<0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1，则2m＋n＝1，

x＋1

21212m2n121

＋＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当m＝n＝时取等号)，所以＋的最小mnmnnm3mn值为9.

【答案】 C

[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点： 失分盲点

1．(1)不等式变形时，不等号的方向易出错．

(2)二次项的系数中含有参数时，该不等式不一定是二次不等式． (3)同向不等式可以相加，但能否相乘是有条件的． 2．(1)不等式(组)表示的区域确定错误．

(2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清．

(3)y＝x＋中截距的符号弄反，导致平移时上下方向错误．

3．利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适用条件，否则容易出错． 答题指导

1．(1)看到不等式需要变形，想到用性质有根有据进行． (2)看到解含参数的不等式，想到参数对求解过程的影响．

(3)看到求不等式中的参数，想到数形结合(画数轴或画函数图象)． 2．(1)看到不等式组的表示区域，想到“直线定界，特殊点定域”． (2)看到求线性目标函数最值，想到平移目标函数等直线进行观察．

(3)看到求约束条件或目标函数中的参数，想到由目标函数的最值列方程(组)求解． 3．(1)看到和为定值，想到积是否有最值． (2)看到积为定值，想到和是否有最值． 方法规律

一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.

abzb

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