高二数学空间向量及其运算习题

第七章 第六节空间向量及其运算[理]

一、选择题

1．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高

BD等于 ( ) A．5 B.41 C．4 D．25

????????????解析：设AD＝λAC，又AC＝(0,4，－3)． ????则AD＝(0,4λ，－3λ)． ????AB＝(4，－5,0)， ????BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ????????BD＝0， 由AC·

????????4912

得λ＝－，∴BD＝(－4，，)，∴|BD|＝5.

555

答案：A

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：

??????????????①(A1D1－A1A)－AB；

??????????????②(BC?BB1)－D1C1；

?????????????③(AD?AB)－2DD1；

???????????????④(B1D1＋A1A)＋DD1.

?????其中能够化简为向量BD1的是 ( )

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

????????????????????????????解析：①(A1D1?A1A)?AB?AD1?AB?BD1； ?????????????????????????????②BC?BB1)?D1C1?BC1?D1C1?BD1；

???????????????????????????③(AD?AB)?2DD1?BD?2DD1?BD1；

??????????????????????????????????④(B1D1?A1A)?DD1?B1D?DD1?B1D1?BD1，

综上①②符合题意． 答案：A

????????????3．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中

????点，则OE可表示为(用a，b、c表示)． ( )

111111111111A.a＋b＋c B.a＋b－c C.a＋b＋c D.a－b＋c 244232344344

?????????????1????????11???解析：OE?OA?AD?OA?×(AB?AC)

222????????????????????????????????????????????1＝OA?×(OB?OA?OC?OA)PD.CD?BC.AD?CA.BD

4?1????1????1111???＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c. 244244

答案：A

????????4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE?AA1＋????????AB?xyAD，则x、y的值分别为 ( )

1

A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝

2111

C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1

222

???????????????????解析：如图，AE?AA1?A1E?AA1

?1????????1?????????＋A1C1?AA1＋(AB?AD)． 22

答案：C

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是 ( ) A．90° B．60° C．30° D．0°

?????????解析：可求得BD1∥EF，即BD1∥EF.

答案：D

?????????1???6．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则AB＋(BD?BC)等

2

于( )

?????????????1???A．AG B．CG C．BC D. BC

2?????????????????????1???解析：如图所示：(BD?BC)＝BG，AB＋BG＝AG.

2

答案：A 二、填空题

????????????????????????7．在空间四边形ABCD中，AB?CD?BC?AD?CA?BD＝________.

????????????解析：设AB＝b，AC＝c，AD＝d， ????????????则CD＝d－c，BD＝d－b，BC＝c－b.

原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0. 答案：0

????????????8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD |的值是________．

????解析：设P(x，y，z)，∴AP＝(x－1，y－2，z－1)． ????PB＝(－1－x,3－y,4－z) ????????18

由AP＝2PB得点P坐标为(－，，3)，

33

????77

又D(1,1,1)，∴|PD |＝. 3

答案：

77 3

9．(2009·平顶山模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为________．

解析：建系可求得cosθ=

2. 5答案：三、解答题

2 510．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：

?????????(1)BC?ED1；

?????????(2) EF?FC1.

????解：如图，设AB＝a，

?????????AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0.

????????(1) BC·ED1

1＝b·[(c－a)＋b]

2＝|b|2＝42＝16；

?1????????11

(2) EF·(b＋a) FC1＝[2(c－a)＋2b]·2

11＝(－a＋b＋c)·(b＋a) 2211＝－|a|2＋|b|2

24＝2.

11．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使

AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离．

????????解：∵∠ACD=90°，∴AC?CD＝0.

????????同理BA?AC＝0.

????????∵AB和CD成60°角，∴〈BA?CD〉＝60°或120°. ????????????????∵BD?BA?AC?CD， ??????????????????????????????????????22222∴BD?BA?AC?CD2BA?CD?2AC?CD ????????????????????????222＝BA?AC?CD2AB?CD

????????＝3＋2×1×1×cos〈BA,CD〉

???????????4(?BA,CD??60),＝???? ????????2(?BA,CD??120).????∴|BD |＝2或2，即B、D间的距离为2或2.

12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

????解：(1)证明：设CA＝a， ????????CB＝b，,CC＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

?????????111

D∴CE＝b＋c，A′＝－c＋b－a.

222?????????11A′D＝－2c2＋2b2＝0. ∴CE·

?????????D，即CE⊥A′D. ∴CE⊥A′??????????????5(2) A′C＝－a＋c，∴|A′C |＝2|a|，|CE |＝2|a|. ?????????111A′C·CE＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，

222

12

|a|?????????210

∴cos〈A′＝. C，CE〉＝

52102·|a|2即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为

10. 10