第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系 - 图文

又因为??16km?4(1?2k)(2m?2)?8(1?2k?m)由??0,得1?2k?m22222222222将①代入②式，得4m??m2因为m?0,所以??4,则?2???2且??0综合i、ii两种情况，得实数?的取值范围是?-2，2?.【点评】直线l与椭圆C交于不同的两点???0,这一条件不可忽视.它常常是建立不等关系的基础.17/28精例剖析题型3 最值问题例3已知点P为圆x?y?4上的动点，PD?x轴，22垂足为D,线段PD中点的轨迹为曲线C.过定点M?t,0??0?t?2?任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点.(1)求曲线C的方程；(2)试证明：在x轴上存在定点N，使得?ANB总能被x平分；(3)对于第(2)中的点N，求四边形OANB面积的最大值（用t表示）.18/28证明设Q(x,y)为曲线C上的任意一点，则点（Px,2y)在圆x?y?4上（1）x所以x?4y?4,曲线C的方程为?y2?（1y?0）4设点N的坐标?n,0?,考虑到直线l可以垂直于x轴,故设直线l的（2）22222x2方程为x?sy?t，代入曲线C的方程?y?14222可得(s?4)y?2tsy?t?4?0因为0?t?2,2所以??(2ts)?4(s?4)(t?4)?16(s?4?t)?0所以直线l与曲线C总有两个公共点.（也可能根据点M在椭圆C的内部得到此结论）22222设点A、B的坐标分别为?x1,y1?、?x2，y2?，2?2tst?4则y1?y2?2,y1y2?2s?4s?419/28要使?ANB被x轴平分，只要kAN?kBN?0y1y2即??0,y1(x2?n)?y2(x1?n)?0x1?nx2?n也就是y1(sy2?t?n)?y2(sy1?t?n)?22sy1y2?(t?n)(y1?y2)?0t?4?2ts即2s?2?(t?n)?2?0s?4s?4即只要(nt?4)s?04当n?时，（*）对任意的s都成立t从而?ANB总能被x轴平分4所以在x轴上存在定点N(,0),使得?ANB总能被x轴平分t20/282