2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何高考大题冲关系列(5)高考解析几何中的热点题型学案北师大版

高考解析几何中的热点题型

命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决．

题型1 最值、范围问题角度1 最值问题

x2y2x2y2

例1 (2020·武汉摸底)如图，已知椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，双曲线2－2＝1

abab的两条渐近线为l1，l2.过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1.设直线l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B，直线l与直线l2交于P点．

(1)若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程； |FA|(2)求的最大值．

|AP|

x2y2

解 (1)因为双曲线方程为2－2＝1，

ab所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，

因为两渐近线的夹角为60°且<1，所以∠POF＝30°， 所以＝tan30°＝

bababa3

，所以a＝3b， 3

由于双曲线的半焦距为2

所以a＋b＝2，所以a＝3，b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y＝1.

3

(2)因为l⊥l1，设椭圆C的右焦点为F(c,0)， 所以直线l的方程为y＝(x－c)， 其中c＝a－b，

因为直线l2的方程为y＝x，

2

2

2

2

2

x2

2

abba?aab?联立直线l与直线l2的方程解得点P?，?. ?cc?

2

- 1 -

设

|FA|

＝λ，A点的坐标为(x0，y0)，且F点的坐标为(c,0)， |AP|

→→则FA＝λAP，

ab?a?所以(x0－c，y0)＝λ?－x0，－y0?， c?c?c2＋λa2λab解得x0＝，y0＝，

c1＋λc1＋λx2y2

因为点A(x0，y0)在椭圆2＋2＝1上，

abc2＋λa2

所以22

ac1＋λ2

22

22

2

＋

λab2

2

b2c21＋λ222

＝1，

即(c＋λa)＋λa＝(1＋λ)ac， 等式两边同除以a得

(e＋λ)＋λ＝e(1＋λ)，e∈(0,1)．

2

2

2

2

2

4

24

e2－e4

所以λ＝2，

2－e2

设2－e＝t，则e＝2－t，

因为e∈(0,1)，所以e∈(0,1)，t∈(1,2)， 2－t－2－tλ＝

2

22

22

t－2＋3t－t＝

2

t?2?＝－?t＋?＋3

?

t?

≤－2t·＋3＝3－22

t2

2

＝(2－1)，

2

取等号时，t＝?t＝2∈(1,2)，

t此时2－e＝2，e＝2－2， 所以λ的最大值为(2－1)， |FA|

所以λ＝的最大值为2－1.

|AP|

[冲关策略] 处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

变式训练1 (2019·浙江高考)如图，已知点F(1,0)为抛物线y＝2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.

2

2

2

2

- 2 -

(1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求的最小值及此时点G的坐标． 解 (1)由题意得＝1，即p＝2.

2所以抛物线的准线方程为x＝－1.

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t.

2

S1S2

pt2－1

由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，

2t2

代入y＝4x，得y－

2

2

t2－1

y－4＝0， tt2?2?1

故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B?2，－?.

?tt?

112

又xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，得2t－＋yC＝0，

33t＋2???1?2?1???2t－2t，0?. 得C??－t?，2?－t??，G?2

3t??t??t????

所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t)，得Q(t－1,0)． 由于Q在焦点F的右侧，故t>2.从而 1

|FG|·|yA|S12＝ S21

|QG|·|yC|2

＋2??2t－2t－1?·|2t|2?3t??

＝ 42

＋2??2?t2－1－2t－2t?2??·?t－2t?3t????2t－tt－2

＝4＝2－4. t－1t－1令m＝t－2，则m>0，

24

2

2

4

2

2

2

2

4

2

S1m1＝2－2＝2－ S2m＋4m＋33

m＋＋4m≥2－2

1

3

＝1＋3. 2

m·＋4m - 3 -

当m＝3时，取得最小值1＋角度2 范围问题

S1S23

，此时G(2,0)． 2

x2y2

例2 (2020·沈阳摸底)如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab离心率为

3

，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P(x0，y0)(y0≠0)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交椭圆

C的长轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．

x2y2b42222

解 (1)将x＝c代入2＋2＝1中，由a－c＝b，可得y＝2，所以过焦点F2且垂直于xaba2b轴的直线被椭圆C截得的线段长为.

2

a＝1，a??由?c3

＝，a2??a＝b＋c，

2

2

2

2b2

x2

解得?

?a＝2，???b＝1，

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

(2)解法一：因为点P(x0，y0)(y0≠0)，F1(－3，0)，

2

F2(3，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为 l1：y0x－(x0＋3)y＋3y0＝0， l2：y0x－(x0－3)y－3y0＝0.

由题意可知

|my0＋3y0|

y＋x0＋320

＝2

|my0－3y0|

y＋x0－32

0

2

. 由于点P为椭圆C上除左、右顶点外的任一点， 所以＋y0＝1，

4所以|m＋3|

＝|m－3|

，

x20

2

?3?2

?x0＋2??2??3?2

?x0－2??2?

因为－3

- 4 -