南京市数学对口单招一调试卷(含答案).doc

13．180 14．15 15．3

三、简答题（本大题共8小题，共90分） 16．（本题满分8分）

由题意16?2x2?3x?0 ……………………1分

∴x2?3x?4 ……………………2分

2??x?3x?4………………1分 ??2??x?3x??4∴???1?x?4 ……………2分

?x?R??1?x?4………………1分

即函数的定义域为{x|?1?x?4}……………………1分 17．（本题满分10分）

解：（1）∵函数f?x?是定义在实数集R上的奇函数

∴f?0??0 ……………………2分 ∴f?0??3?1?m?0

∴m??4 ……………………2分 （2）∵m??4 ∴g?x???∴g?x???121x?x??4 2212?x?1??4 …………………2分 2∴当x?1时, ymax??4 …………………1分

∵当x??1时, g(?1)??6，当x?2时, g(2)??∴当x??1时, ymin??6 ……………2分

∴g(x)在区间[?1,2]上的最大值为-4，最小值为-6 …………………1分 18.（本题满分12分）

解：（1）f(x)?cos2x?sinxcosx?9 21?cos2x1?sin2x 22 ?2?1sin(2x?)?……………………………………………2分 242∵?1?sin(2x??4)?1

?f(x)的最大值为（2）2k??21?…………………………………………1分 22?2423?? ∴k???x?k??,k?Z ………………………………1分

883??∴函数f(x)的单调增区间为[k??,k??](k?Z)………………1分

88abc（3）∵bcosC?ccosB，???2R

sinAsinBsinC∴sinBcosC?sinCcosB

∴sin(B?C)?0 ∴B?C

?AB?AC?3……………………………………2分 又 ∵f(?2x???2k???,k?Z………………………………1分

A?2?12132?5?)?sin(A?)?=cosA?? 282222210 ∴cosA?∴S?ABC342 ∵A?(0,?) ∴sinA?1?cosA? ………………2分 55118?AB?AC?sinA? ……………………………………2分 2519.（本题满分12分）

解：（1）记“甲在1或2跑道且乙不在5、6跑道”为事件A ……………1分

114C2?C3?A41 ……………4分 ?P(A)??6A65即甲在1或2跑道且乙不在5、6跑道的概率为

1………………………………1分 5（2）记“甲乙之间恰好间隔两人”为事件B ………………………1分

223A4?A2?A31 ……………4分 ?P(B)??6A65即甲乙之间恰好间隔两人的概率为20.（本题满分12分）

1…………………………………………1分 5解：（1）∵an?1?2Sn?1(n?N?) ∴2Sn?an?1?1(n?N?)

∴2Sn?1?an?1 ∴2an?an?1?an ……………………1分

∴ an?1?3an ∴

an?1?3 …………………1分 an ∴?an?是等比数列，公比q=3

n?1n?1n?1 ∴an?a1q?1?3?3……………………………2分 n（2）∵bn?log3an?1?log33?n，

∴Tn?1?2?3?....?n?n(n?1) ………4分 2（3）∵cn?1111??? ………………2分 2Tnn(n?1)nn?111111?)

2231001011100 =1? ………………2分 ?101101 ∴R100?(1?)?(?)?...?(21.（本题满分10分）

解：设生产甲种机器x台，乙种机器y台，利润为z万元

?30x?20y?300?由题意?5x?10y?110

?x,y?0?目标函数z?6x?8y……………………………5分 作可行域如图，目标函数z在A处取得最大值

答21题图

?30x?20y?300?x?4……………………2分 ???A（4,9）??5x?10y?110?y?9代入得目标函数z的最大值为96（万元）………………………………2分

即应生产甲种机器4台，乙种机器9台，才能使利润达到最大，最大利润为96万元…1分 22.（本题满分12分） 解：（1）当7?x?20时

y??2000+400（20?x)??(x?5?2)

=?400x?12800x?70000………………………2分 当x?20时

2y??2000?100（x?20)??(x?5?2)

=?100x?4700x?28000 ………………………2分

∵?100x?4700x?28000?0 ∴20?x?40 ………………1分

2?7?x?20,x?N???400x?12800x?70000 …………………………1分 ?y=?220?x?40,x?N????100x?4700x?28000 22此函数的定义域为{x|7?x?40,x?N?}……………………………………1分 （2）当7?x?20时，y??400x?12800x?70000??400(x?16)?32400

22

即当x?16时，y有最大值32400元……………………………………2分

22当20?x?40时，y??100x?4700x?28000??100(x?23.5)?27225

即当x?23或24时，y有最大值27200元…………………………2分 所以当销售价格为16元时，可获得最大利润32400元。…………………………1分

23.（本题满分14分）

p2解：（1）抛物线y?2px (p?0)的准线为x??， ……………………1分

2pp由抛物线定义和已知条件可知|MF|?1?(?)?1??2，……………………2分

22解得p?2，故所求抛物线方程为y2?4x. ……………………2分 1??y??x?b（2）联立?，消x并化简整理得y2?8y?8b?0. ……………………2分 22??y?4x依题意应有??64?32b?0，解得b??2. ……………………1分 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2??8,y1y2??8b，

设圆心Q(x0,y0)，则应有x0?x1?x2y?y,y0?12??4.……………………1分 22因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r?|y0|?4，…………………1分 又|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?4)(y1?y2)2?5[(y1?y2)2?4y1y2]?5(64?32b) . 所以 |AB|?2r?5(64?32b)?8，

8解得b??. ……………………2分

54824所以x1?x2?2b?2y1?2b?2y2?4b?16?，所以圆心为(,?4).………………1分

5524故所求圆的方程为(x?)2?(y?4)2?16. ……………………1分

5方法二：

1??y??x?b联立?，消掉y并化简整理得x2?(4b?16)x?4b2?0， ………………2分 22??y?4x依题意应有??16(b?4)2?16b2?0，解得b??2. ……………………1分 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?4b?16,x1x2?4b2 . 设圆心Q(x0,y0)，则应有x0?x1?x2y?y,y0?12??4，……………………1分 22因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r?|y0|?4. ……………………1分 15又|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?)(x1?x2)2?[(x1?x2)2?4x1x2]?5(64?32b) ，

44又|AB|?2r?8，所以有5(64?32b)?8，

8解得b??， ……………………2分

5