《现代分析基础》读书报告

f(x)?Tx,y?y?Tx?y?T?X,?x?X

则f?X?，且f?T?y。由Riesz定理，惟一存在z?X有

Tx,y?x,z,?x?X

我们得到了算子T?:Y?X为T?y?z，且f?z。使对任意的x?X,y?Y，有

Tx,y?x,T?y。

现在证明T?是由Y到X的有界线性算子。任意取复数?1,?2及元素y1,y2?Y，因有

Tx,?1y1??2y2??1Tx,y1??2Tx,y2??1x,T?y1??2x,T?y2

?x,?1T?y1??2T?y2

因此T?(?1y1??2y2)??1T?y1??2T?y2。这说明T?是线性的。再由T?的定义，对任意的y?Y，有T?y?f?T?y，因此有T??T，即T?为有界线性算子，而T?的惟一性是明显的。证毕。

再给出一个实例。设X?L2?a,b?,K(t,s)是矩形区域D??a,b???a,b?上平方可积函数，则由核K(t,s)定义了空间L2?a,b?上的有界线性算子T为

(Tx)(t)??K(t,s)x(s)ds,x?L2?a,b?

abT是一个Fredholm型积分算子。现在求T的共轭算子。任取y?L2?a,b?，因

为在给定条件下可交换积分次序，有

bbx,T?y?Tx,y??(?K(t,s)x(s)ds)y(t)dt

aa??x(s)(?K(t,s)y(t)dt)ds

aabb??x(s)(?K?t,s?y?t?dt)ds

aabb??x(t)(?K?s,t?y?s?ds)dt

aabb故有 Ty?t???K?s,t?y?s?ds。即T?是以K(t,s)为核的Fredholm型积分

?a??b算子。

由例4.8,我们看到共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广，因此它必然具有许多类似转置共轭矩阵的性质。

【定理2.12】(共轭算子的性质) 设X，Z是Hilbert空间，Y是内积空间。

T,S?L(X,Y),Q?L(Z,X)，?是复数，则以下命题成立：

（1）(?T)???T?； （2）(T?S)??T??S?； （3）(T?)??T； （4）T2?T?2?T?T；

（5）(TQ)??Q?T?；

（6）T存在有界线性逆算子的充要条件是T?也存在有界线性逆算子，有

(T?1)??(T?)?1；

（7）?(T?)??????T?。 证明：（1）任取x?X,y?Y,有

x,(?T)?y??Tx,y??Tx,y??x,T?y?x,?T?y

??因此有??T????T?。性质（1）得证。 （2）证明留给读者证明。

（3）任取x?X,y?Y,有Tx,y?x,T?y，因此有T?y,x?y,Tx。于是 由定义4.8得知(T?)??T。性质（3）得证。

（4）由定理4.11的证明已知T??T。因此也有(T?)??T?，即T于是必T?T?。任取x?X，因

?T?。

?TT?x??T??Tx??T??Tx?T??T?x?T2x

则得T?T?T。

另一方面，任取x?X，且x?1，有

2Tx?Tx,Tx?(T?T)x,x?T?T?x?T?T

22则得

T?supTx?(TT)

?x?112即有T2?T?T。

2综上所证就得到T?T?2?T?T。性质（4）得证。

（5）由假设知TQ?L(Z,Y)。任取z?Z,y?Y，因

z,(TQ)?y?(TQ)z,y?Qz,T?y?z,Q?T?y

于是有?TQ???Q?T?。性质（5）得证。

（6）设T存在有界线性逆算子T?1，则TT?1?IY,T?1T?IX，其中IX,IY 分别是X??及Y上单位（恒等）算子。因明显有IX?IX,IY?IY，则利用性质（5）可得

(T?1)?T??IY,T?(T?1)??IX

因此知(T?1)?是T?的逆算子，即成立(T?)?1?(T?1)?。反之，设T?存在有界线性逆算子，于是由前证有T?(T?)?存在有界线性逆算子。性质（6）得证。定理证毕。

（7）设???(T)，则(?I?T)?1?L(X,X)，于是由性质（6），(?I?T)?存在有界线性逆算子，而??I?T?????T?，可见???(T?)，故?????T????T??。 同理可证

????????T?????T????T?

???即

??T????????T?

所以 ??T????????T?

而?T?,??T?分别是?(T?)，?(T)的余集，因此

????????T????????T?

??

第三节 Hilbert空间的实际应用

3.1泛函分析在电力系统非线性费用函数分摊中的应用

国内外电网多年的运行表明电网调度要集中，电网运行时一个整体，电网的安全性、稳定性及可靠性受制于电网中所有电厂和电力用户。网厂分家后，安全阻塞费用、固定费用及网损应合理地分摊，这便涉及了非线性费用函数值的分摊问题。

在非线性函数值分摊理论中，改变路径函数后函数值的分摊将发生变化，因而自变量的分摊值可表达为路径函数的泛函。如何选择非线性函数值分摊路径与评判分摊结果的合理性是关键。根据泛函极值理论提出了电力系统非线性费用函数值分摊的合理性评判准则与公平性条件。网损交互项分摊的数值计算表明：自变量按同比例的变化路径能满足基于泛函极值理论的合理性评判准则，按等比例步长划分积分区间是所有满足合理性准则中的最简单的一种。 3.2泛函分析在线性集总参数电路中的应用

变分原理在电磁场有限元计算中已获广泛应用，文献[3]则讨论如何将该原理应用于线性集总参数电路的求解中。作者从特勒根定理出发，导出了基于节点电压和回路电流的功率泛函，给出了通过变分获得电路解答的方法和步骤。借助功率泛函的概念，指出了电路解答与电路系统的功率最小点或者功率驻定点相对应。数值算例验证了这一结论。集总参数电路的泛函是求解电磁场——电路耦合问题的桥梁之一，在实际应用中有重要的意义。 3.3泛函分析在输电网规划中的应用

目前大规模输电网规划求解中经常遇见无法完成对解空间的充分搜索，从而难于求得全局最优解的问题。给出了泛函形式的输电网规划模型，重点分析了输电网规划解的模式。在分析了传统蚁群算法易产生未成熟收敛现象及其原因的基础上，设计了一种基于模式记忆的并行蚁群算法，该算法通过模式记忆实现了解空间分解，能够有效地识别、记忆和跳出局部最优解；通过局部细化搜索进一步加强了局部搜索能力；通过并行计算提高了计算速度。