南通市2014届高三第一次调研测试数学试卷

南通市2014届高三第一次调研测试

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 已知集合U?{1，2，3，4，5}，A?{1，2，4}，则eUA? ▲ ．

【答案】{3，5}．

2． 已知复数z1?1?3i，z2?3?i(i为虚数单位)．在复平面内，z1?z2对应的点在第 ▲ 象限．

【答案】二．

3． 命题：“?x?R，x≤0”的否定是 ▲ ．

【答案】?x?R，|x|?0．

4． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2?8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．

【答案】3．

?x≥0，?y≥0， 5． 设实数x，y满足?则z?3x?2y的最大值是 ▲ ． ? ?x?y≤3，? ?2x?y≤4，开始 输入x y?1x?1 2x?yN 【答案】7．

6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的

值是 ▲ ．

【答案】?3．

2 7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：

城市 甲 乙 空气质量指数(AQI) 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 109 110 111 111 132 115 118 132 110 112 |y?x|?1Y 输出y 结束 （第6题）

则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．

8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为2．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】2．

5数学试卷 第1页 （共10页）

9． 将函数f(x)?sin?2x????0?????的图象上所有点向右平移?个单位后得到的图象关于原点

?对称，则?等于 ▲ ． 【答案】?．

?114

10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值

2nm

是 ▲ ． 【答案】5．

211．若向量a??cos?， sin??，b??cos?， sin??，且a?b≤2a?b，则cos(???)的值是 ▲ ．

【答案】1．

12．在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?b是曲线y?alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小

值是 ▲ ． 【答案】?1．

13．已知集合M={(x,y)|x?3≤y≤x?1}，N={P|PA≥2PB,A(?1,0),B(1,0)}，则表示M∩N的

图形面积等于 ▲ ． 【答案】4??23．

314．若函数f(x)?ax2?20x?14(a?0)对任意实数t，在闭区间[t?1， t?1]上总存在两实数x1、x2，

使得|f(x1)?f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为 ▲ ． 【答案】8．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB1?BC，且AA1?AB． （1）求证：AB∥平面D1DCC1；

（2）求证：AB1⊥平面A1BC．

（1）证明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，

AB?平面D1DCC1， CD?平面D1DCC1，

D1 A1 B1 C1

D

A

B

（第15题）

C

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所以AB//平面D1DCC1． ??????????????????????????6分 （2）证明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四边形A1ABB1为平行四边形，又AA1?AB，

故四边形A1ABB1为菱形．

从而AB1?A1B．????????????????????????????? 9分 又AB1?BC，而A1B?BC?B，A1B， BC?平面A1BC，

所以AB1?平面A1BC． ????????????????????????? 14分

16．(本小题满分14分)

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=3．

4 （1）求tanB的值；

（2）若c?2，求△ABC的面积．

（1）解：由正弦定理，得 sinC??3sinBcosA，??????????????????2分

即sin(A?B)??3sinBcosA． 所以sinAcosB?cosAsinB??3sinBcosA． 从而sinAcosB??4sinBcosA．

因为cosAcosB?0，所以tanA??4．????????????????????4分

tanBB?3， 又tanC??tan(A?B)?tanA?tanB，由（1）知，3tan2tanAtanB?14tanB?14解得tanB?1．??????????????????????????????6分

2（2）解：由（1），得 sinA?2，sinB?1，sinC?3． ????????????10分

5552?25?45．?????????????????12分 由正弦定理，得a?csinA?sinC335所以△ABC的面积为1acsinB?1?45?2?1?4． ????????????14分

2235317．(本小题满分14分)

a3

已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－2+1．

x（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．

2a3

f ′(x)＝2＋3，令f ′(x)＝0，得x＝－a． ???????????????????2分

x①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增． ????????? 4分

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②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递增． x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．????????? 6分 综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．???????? 7分 （2）解：因为f(x)为奇函数，

a3a3

所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－2＋1)＝2x＋ 2－1． ???????? 9分

xxa3

①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋ 2≥a对一切x＞0成立．

xa

而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．

2

所以a＜0不成立．???????????????????????????11分 ②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．?12分 ③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数．

所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求． ??????? 13分 综上所述，a的取值范围是[0,??)．???????????????????? 14分

18．(本小题满分16分)

?的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为EFEMF内），∠EOF=2?．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)， AD∥EF，

3?上，设∠AOD=2?． 且点A、D在EF （1）求矩形铁片ABCD的面积S关于?的函数关系式；

（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos?的值．

M M · · D A O O O F E E B C F

（第18题） ①

（1）解：设矩形铁片的面积为S，?AOM??．

M · A O D

B E ②

C F 当0????时（如图①），AB?4cos??2，AD?2?4sin?，

3S?AB?AD??4cos??2??2?4sin???16sin??2cos??1?．??????????? 3分

当?≤???时（如图②），AB?2?4cos?，AD?2?4sin?， 32 故S?AB?AD?64sin?cos??32sin2?．

综上得，矩形铁片的面积S关于?的函数关系式为

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