1990年考研数学三真题及全面解析

[0,b]上单调递增,故F(b)?F(0)?0,即

f(a?b)?f(a)?f(b),其中0?a?b?a?b?c.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.

六、(本题满分8分)

【解析】本题中,方程组有解?r(A)?r(A).(相关定理见第一题(4))

对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以??3?、??5?分别加到第二、四行上,有

?1?3??0??5Ma??11111?0?1?2?2?6211?3M0????1226Mb??01226??433?1M2??0?1?2?2?61111Ma?M?3a??, Mb??M2?5a?第二行乘以1、??1?分别加到第三、四行上,第二行再自乘??1?,有

?11111Ma??1226M3a??. ???Mb?3a???M2?2a??(1) 当b?3a?0且2?2a?0,即a?1,b?3时方程组有解. (2) 当a?1,b?3时,方程组的同解方程组是

?x1?x2?x3?x4?x5?1, ?x?2x?2x?6x?3,345?2由n?r(A)?5?2?3,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为

?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T.

(3) 令x3?x4?x5?0,得方程组的特解为??(?2,3,0,0,0).因此,方程组的所有解是

T??k1?1?k2?2?k3?3,其中k1,k2,k3为任意常数.

【相关知识点】若?1、?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系,则Ax?b的通解形式

为k1?1?k2?2??,其中?1,?2是Ax?0的基础解系,?是Ax?b的一个特解.

七、(本题满分5分)

【解析】若A、B是n阶矩阵,且AB?E,则必有BA?E.于是按可逆的定义知A?1?B.

如果对特征值熟悉,由A?0可知矩阵A的特征值全是0,从而E?A的特征值全是1,也就能证明E?A可逆.

由于A?0,故

kk?E?A?(E?A?A2?L所以E?A可逆,且?E?A?

八、(本题满分6分)

?1?Ak?1)?Ek?Ak?E.

?E?A?A2?L?Ak?1.

【解析】(反证法)若X1?X2是A的特征向量,它所对应的特征值为?,则由定义有：

A(X1?X2)??(X1?X2).

由已知又有 A(X1?X2)?AX1?AX2??1X1??2X2. 两式相减得 (???1)X1?(???2)X2?0.

由?1??2,知???1,???2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1?X2不是A的特征向量.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.

九、(本题满分4分)

【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.

33有利于事件A2的样本点数为2C9?C8；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字

33除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所以应该减去C8.

3由古典型概率公式,

333C82C9?C8714. P(A1)?3?;P(A2)??3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)?

十、(本题满分5分)

有利于事件Ai的样本点数.

样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limex????ax?0,(a为常数)有

X和Y的边缘分布函数分别为

?1?e?0.5x,若x?0, FX(x)?F(x,??)?limF(x,y)??y???0,若x?0;??1?e?0.5y,若y?0, FY(y)?F(??,y)?limF(x,y)??x???若y?0.?0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)?FX(x)FY(x).因此X和Y相互独立. (2) 因为X和Y相互独立,所以有

??P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1??P?Y?0.1?

?0.05?e?0.05?e?0.1. ?[1?FX(0.1)][1?FY(0.1)]?e

十一、(本题满分7分)

【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过?(x)表计算.但是正态分布的参数?与?未知时,则应先根据题设条件求出?与?的值,再去计算有关事件的概率.

2

设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(?,?),且??72,但?未知.所以可标准化

22

2

得

X?72?~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有

?96?72??24?P?X?96??1?P?X?96??1????1??????0.023,

???????24?????1?0.023?0.977. ???查表可得

24??2,??12,即X~N(72,122),

P?60?X?84??P??X?72??1??2?(1)?1?0.682.

?12?