高中数学第三章推理与证明章末分层突破学案北师大版选修1-2

设{an}是公比为q的等比数列．

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．

【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证

法证明要证的结论．

【规范解答】 (1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

na1，q＝1，??a11－qn

∴Sn＝，∴Sn＝?a11－qn

1－q，q≠1.?1－q?

(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

2kkk－1k＋1k－1k＋1 a21q＋2a1q＝a1q·a1q＋a1q＋a1q，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

[再练一题]

3．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝

2

0，且00.

9 / 28

(1)证明：是f(x)＝0的一个根；

(2)试比较与c的大小．

【解】 (1)证明：∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，

∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.

∵f(c)＝0，

∴x1＝c是f(x)＝0的根．

又x1x2＝，11?

∴x2＝??≠c?，

a?a?

ca

1a

1a

∴是f(x)＝0的一个根．

(2)假设0， 由00，

1??1? 知f??a?>0与f?a?＝0矛盾，????

1

a

1a

1a

∴≥c，又∵≠c，

∴>c.

1a

1a1a

数学归纳法

1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于

“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

10 / 28

2．关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式

子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n 项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝n－n－1.

11

a1＋? 【规范解答】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝?，?a1?2??

1

an

所以a21＝1(an>0)，所以a1＝1，又1－0＝1，

所以n＝1时，结论成立．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝k－k－1.

当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk1?1?1?1

ak＋1＋ ＝?－?ak＋???ak＋1?2?ak?2?

11?1?1??k－k－1＋ ＝?ak＋1＋ak＋1?－??2??2?k－k－1?

1?1

ak＋1＋ ＝???－k，

ak＋1?2?

所以a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，

解得ak＋1＝k＋1－k(an>0)，所以n＝k＋1时，结论成立．

由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝n－n－1.

[再练一题]

4．设数列{an}的前n项和Sn＝nan＋1

(n∈N＋)，a2＝2.2

(1)求{an}的前三项a1，a2，a3； (2)猜想{an}的通项公式，并证明．

11 / 28

【解】 (1)由Sn＝

nan＋1

，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.2

(2)猜想：an＝n.

证明如下：①当n＝1时，猜想成立．

②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝ ＝

k＋1k＋1

ak＋1＋1k

－

2

ak＋1＋1k

－

2

ak＋12k＋1

.2

所以ak＋1＝

k21－＝k＋1，k－1k－1

所以当n＝k＋1时，猜想也成立． 根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.

转化与化归思想

转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立

与统一的转化．

12 / 28