约瑟夫森结I-V特性及非线性Matlab模拟

江苏科技大学数理学院 约瑟夫森结I-V特性及非线性的数值模拟

图14：系统相图（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.212）

Phase Diagram of The System（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.212）

图15：系统相图（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.32）

Phase Diagram of The System（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.32）

_______________________________________________________________________________________________作者：彭加福 0640502112 （jingyujiafu@163.com） 共16页 - 9 -

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分析：从分岔图中可以看到，ia<1时系统处于单周期状态，在ia=1附近因阵发性而进入二周期，然后因倍周期分岔进入混沌状态，图10～13是取这一过程中的几个特殊点绘制的分析图像。可以看出图10、图11、图12分别表示单周期、二周期和四周期，图13则表示系统进入混沌状态。图13与图14比较，前者的庞加莱截面还是清晰的线，而后者则是分片密集的点阵；前者功率谱有局部出现噪声背景（连续普），而后者都是连续普。这是因为ia=1.08时，倍周期分岔还在进行中，还有一点规律可循，而ia=1.212时，系统已经完全进入混沌状态。图15表明ia=1.32时，系统又由阵发性进入周期状态，然后再次进入混沌状态，其间有微小扰动（从时序图中看出）。

5． 结束语

此工作通过计算机模拟约瑟夫森结（RCSJ模型）的I-V特性及非线性混沌现象，给出了：约瑟夫森结的交直流I-V特性曲线；系统非线性混沌分岔图和与之相关的相图，庞加莱截面，功率谱及时序图；系统进入混沌状态的方式及混沌的一些分析方法。

通过这次仿真实验，我从中学到了很多物理知识和计算机仿真经验，深感浅尝辄止与深入研究的巨大差别。

6． 微分方程数值解Matlab程序

*PART ONE:

****** Josephson_Junction.m by J. F. Peng ******

%

function dy=Josephson_Junction(t,y) % 在程序中参数t代表文中的τ

% Bc 为阻尼参数, w 为归一化的外加交流电流圆频率

% Bc、ia、id、w、τ均为无量纲化时引入的变量，其中ia、id为各电流无量纲化时引入的 % y(1)= φ 约瑟夫森结中心处波函数ψ1、ψ2的相位差 % y(2)=dφ/dt 即归一化电压u

% 以下为约瑟夫森结RCSJ模型的无量纲化微分方程 % dφ/dt=u

% du/dt=-Bc*u-sin(φ)+id+ia*sin(w*t) %

% ****** Author:J.F.Peng(jingyujiafu@163.com) ****** %

global Bc ia w id; dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2);

dy(2)=id+ia*sin(w*t)-sin(y(1))-Bc*y(2);

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dy(3)=w;

*PART TWO:

****** plotACIV.m by J. F. Peng ******

%

% RCSJ模型的直流I-V特性 %

% ****** Author:J.F.Peng(jingyujiafu@163.com) ****** %

clear all; clc tic

global Bc ia w id; a=[0.60,1.00]; for i=1:2 Bc=a(i); w=0.50; ia=0.00; v=[];

for id=-2:0.005:2

[T,Y]=ode45('Josephson_Junction',[0:0.01:80],[0 0 0]); v=[v,mean(Y(:,2))]; end

plot_id=(-2:0.005:2);

plot(v,plot_id,'.b','markersize',4)

% 将Bc=1.00和Bc=0.60的直流I-V特性曲线画一起，好比较 hold on end

plot_id=(-2:0.005:2);

plot(v,plot_id,'.r','markersize',4) xlabel('Voltage U~') ylabel('Directive Current id') desc={'Bc=0.60(blue)||1.00(red)', 'w=0.50, ia=0.00, Ic=1'}; text(-3,1.25,desc) figure

plot_id=(-2:0.005:2);

plot(v,plot_id,'k.','markersize',4) xlabel('Voltage U~') ylabel('Directive Current id')

desc={'Bc=1.00, w=0.50, ia=0.00, Ic=1'}; text(-1.75,1.25,desc) %

% RCSJ模型的交流I-V特性 %

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clear all; clc

global Bc ia w id; Bc=1.00; w=1.00; ia=2.00; v=[];

for id=-4:0.005:4

[T,Y]=ode45('Josephson_Junction',[0:0.01:80],[0 0 0]); v=[v,mean(Y(:,2))]; end

plot_id=(-4:0.005:4); figure

plot(v,plot_id,'k.','markersize',4) xlabel('Voltage U~') ylabel('Directive Current id') desc={'Bc=1.00 w=1.00, ia=2.00'}; text(-3,2.5,desc) toc t=toc

*PART THREE:

****** plotphase.m by J. F. Peng ******

%

% 画时序图、相图、庞加莱截面及功率谱 %

% ****** Author:J.F.Peng(jingyujiafu@163.com) ****** % clear clc

global Bc ia w id; Bc=0.500; ia=1.32; w=0.660; id=0.000; %

% 解微分方程 %

[t,Y]=ode45('Josephson_Junction',[0,800],[0;0;0]); %

% 画φ、dφ/dt、ψ（dψ/dt=w）的三维图 % figure

plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3)) xlabel('Phase φ');

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