导数在中学数学中的应用 毕业论文

学号： 0801174066 河南师范大学新联学院 本科毕业论文

导数在中学数学中的应用

专业名称：年级班别：姓 名：指导教师：

数学与应用数学 08级1班 李松阳 高福根

2012年05月

河南师范大学新联学院本科毕业论文

导数在中学数学中的应用

摘 要 导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理中学数学问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的极值和最值问题,不等式问题,还可以与解析几何相联系,可以用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性。因此导数是分析和解决中学数学问题的有效工具。本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。

关键词 导数;函数;切线;不等式;恒等式;数列;方程

Derivative and its application in middle school mathematics

Abstract This article focuses on the use of derivatives of the basic knowledge and theory, to solve the middle school mathematics in the function monotone, the function of the value, function and other functions of the image problem, and introduced a derivative of the inequality, identify, the series, and analytic geometry. The application of practical problems. Involved in the text of the main methods of comparison, analysis and synthesis method.

Keywords derivative; function; tangent; inequality; identity; series; equation

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前 言

导数是近代数学的基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决一些中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率等等的有力工具[1，14-16]。本文就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。 导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。应用导数处理问题不需要很高的思维能力，突出了通法，淡化了技巧。下面分类例析导数在中学数学中的具体应用。

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿函数思想.

1.导数在函数问题中的应用

利用导数分析函数的性态是一种重要手段。在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面，利用导数可使复杂问题简单化、程序化。 1.1 分析函数的图象

【例1】设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图象如图所示，则导函数y?f?(x)的图象可能是

A. B. C. D.

图1.1 y y y x o x o y x o x y o x o 解：当x?0时，函数y?f(x)在对应的区间内均为增函数，∴f?(x)?0.x?0时，函数y?f(x)在对应的区间内先增后减再增，∴y?f?(x)先大于0，后小于0，再大于0.由此知y?f?(x)图象是D。 1.2 求参数的值

【例2】函数f(x)?x3?ax2?bx?c过曲线y?f(x)上的点p（1, f(1)）的切线方程为y?3x?1，若函数y?f(x)在区间[－2，１]上单调递增，求b的取值范围。

解： 由f(x)?x3?ax2?bx?c求导可得

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f?(x)?3x2?2ax?b

过y?f(x)上p（1, f(1)）的切线方程为： y?f(1)?f?(1)(x?1)

即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1)， 而过y?f(x)上p（1, f(1) ）的切线方程为 y?3x?1。

故有3+2a+b=3 即2a?b?0

又f?(x)?3x2?2ax?b ? f?(x)?3x2?bx?b

∵ y?f(x)在区间[?2,1]上单调递增，

∴ f?(x)在区间[?2,1]上恒有f?(x)?0，即3x2?bx?b?0在

[?2,1]上恒成立。

b?1时，f?(1)?3?b?b?0，所以b?6； 6b（2） 当x??2时，f?(?2)?12?2b?b?0 ， 所以b??；

6（1） 当x?b12b?b2b?0，则0?b?6； （3） 当?2??1时，f?()?6126综合上述讨论可知，所求参数b的取值范围是：b?0 1.3 判断函数的单调性

函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷，对于基本初等函数的单调性，大家都 比较熟悉，易找到它的单调区间。当我们所讨论的函数是特殊基本初等函数(反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、幂函数等)时，一般情况可利用它们定义域上的单调性来求解；但对于较复杂的函数的单调性，必须利用复合函数的单调性的结论来进行分析与判定．这是一种

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