中小学数学的逻辑基础

中小学数学的逻辑基础

概念

一、什么是数学概念

概念是指反映事物的本质属性和特征的思维形式。比如，圆是一类事物，它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这是圆的本质属性，而圆的概念就是这一本质属性的反映。 客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，属性不同的事物就形成不同的类。

正确概念是科学抽象的结果。人们在实践活动中接受客观事物的各种各样的信息，形成观念，从而获得感性认识，在此基础上运用比较、分析、综合、抽象和概括等方法，去粗取精，舍掉事物的一些次要方面，保留了事物的本质属性，抽象出一类物事所具有而其它类事物所不具有的那些属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性和特征的各种各样的概念。 现实世界的空间形式和数量关系是数学的特定研究对象，数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。例如，人们对太阳、满月等现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识，初步形成了关于圆的观念，在实践活动中，通过制造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识了圆的本质属性，最后形成圆的概念。在数学中，每一个概念通常都用一个特有的名称或符号来表示，例如，O表示以点O为圆心的圆，又如两个三角形全等用≌来表示。

数学概念的产生与发展途径是多方面的。有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的。例如，几何中的三角形、梯形等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的。又如，自然数概念是从绳子的条数，或其它单位事物集合元素的个数，或者从事物排列的次序抽象概括得来的。另外，有的数学概念是经过人们的加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的。例如，直线这个概念所反映的“直”和“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的。还有些数学概念是从数学内部的需要中产生出来的。例如，无理数，它是在运用勾股定理计算以1和1为两条直角边的直角三角形斜边长时而得到的，由此引发了无

理数的诞生。还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数

等概念都是在一定的理论基础上提出来的。还有一些数学概念是在一定的数学

对象的结构中产生出来的。例如，多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念都是从多边形的结构中得出来的。

数学概念是不断发展、变化的。这是因为，一方面事物的本身是发展变化的，因此，反映事物的概念也要随之而发展、变化；另一方面，由于人们的认识是不断深化的，因而关于事物的概念也要发生变化。如数的概念的形成就是一个逐步发展的过程（如图8-1-1所示）。

对角的概念的叙述也是不断深化的。在平面几何中，角的概念是这样定义的：具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。但对于现实生活中会出现的720°或-1440°等不在0°到360°的角，这样定义的角就不太适合了，因此，平面三角中，对角的概念又进行了扩充：一条射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角，并规定按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，这样角就有了正负之分，并将角扩充到了全体实数。

概念是非常基本、非常重要的。因为有了概念才可以运用概念进行判断和推理，才可以进行论证，不可设想一个没有关于圆的概念的人，能做出关于圆的命题、推理和证明，因此，要掌握一门科学，首先要掌握这门科学的概念。此外，判断是由概念构成的，推理是由判断构成的，论证又是由判断和推理构成的，因此，概念这种思维形式是其他思维形式的基础，从这个意义上来说，概念是思念的细胞。

二、概念的内涵和外延

概念的内涵和外延是构成概念的两个重要方面。

概念的内涵就是指反映在概念中对象的特有的、本质的属性，是概念质的方面，它说明概念所反映的事物是什么样的；而概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象，是概念的量的方面，通常说的是概念的适用范围就是概念的外延，它说明概念所反映的是哪些事物。 概念的内涵和外延都是主观对客观的一种认识，它们与客观对象本身和客观对象的特有属性、本质属性是有区别的。

例如“平行四边形”这个概念，意味着两组对边分别平行的四边形，这就是平行四边形这个概念的内涵。

此外，任何概念都有所指，即概念所指的每一个事物是什么，平行四边形这个概念是指一般的平行四边形、矩开、菱形和正方形全体，这就是平行四边形这个概念的外延。

数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。如，在平面几何中，角的概念是指具有公共端点的两条射线所组成的图形，这样定义出角的外延是指0°到360°以内的角，而角的概念在平面三角中是指一条射线绕它的端点旋转所成的图形，它的外延指任意大小的正角、负角以及0°的角，显然这两种角的概念的内涵和外延都是不同的。

数学概念的内涵和外延是密切联系、互相依赖的两个因素，每一科学概念既有其确定的内涵，也有其确定的处延，而概念之间是彼此互相区别，界线分明的，不容易混淆。因此，教学时要求概念明确，从逻辑学角度来说，基本的要求就是要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的对象具有什么本质属性，明确概念所指的是哪些对象。只有对概念的内涵和外延两方面都有准确的了解，我们才能说对概念是明确的。

三、概念间的关系

所谓概念间的关系就是概念的外延间的关系。在形式逻辑中，根据概念间的外延有无重合之处，概念间的关系可分为相容关系和不相容关系。

（一）概念间的相容关系

所谓概念间的相容关系是指两个至少有一部分外延重合的概念间的关系，它又分为部分重合和完全重合。因此，概念间的相容关系又可分为同一关系、属种关系和交叉关系三种。

1．同一关系。也叫全同关系，指如果两个概念的外延完全重合，则这两个概念之间的关系是

同一关系。概念的同一关系可用图8-1-2表示（A、B表示两个概念）：

例如，无理数和无限不循环小数的就是两个内涵不同，但外延完全相同的概念。但具有同一关系的两个概念，它们的外延虽然完全重合，但是它们的内涵可以不同。比如等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角平分线的外延都是同一条线段，而它们的内涵却各不相同。

研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、全面的认识。另外，在推理证明过程中具有全同关系的概念可以互相代换，可以使论证变得简明。

2．属种关系。不是同一关系的两个概念，如果其中一个概念的外延完全包含另一个概念的外延，那么这两个概念就具有属种关系。在具有属种关系的两个概念中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。概念的属种关系可用图8-1-3表示：

具有属种关系的两个概念，由于各个概念在这种关系中所处的地位不同，在逻辑学中又把属概念叫做上位概念，把种概念叫做下位概念。例如，实数和有理数是具有属种关系的概念，而且由于实数的外延完全包含有理数的外延，因此实数是属概念（或上位概念），而有理数是种概念（或下位概念）。应当指出，属概论和种概念是相对的，如平行四边形是矩形的属概念，但它又是四边形的概念。另外，作为一个概念的属概念未必是唯一的，它的种概念也未必是唯一的，比如平行四边形、四边形和多边形都是矩形的属概念；而矩形、菱形、正方形又是平行四边形的种概念。 具有属种关系的两个概念，它们的外延和内涵在数量上存在互相制约的关系。即属概念和种概