山东省济南市历下区2017-2018学年八年级(下)期末数学试卷(含解析)

问题的解决：

满足：∠APB＝∠APC＝120°时，PA+PB+PC的值为最小；

理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，

由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， ∵∠APB＝120°，∠APP'＝60°， ∴∠APB+∠APP'＝180°， ∴B、P、P'在同一直线上，

由旋转得：∠AP'C'＝∠APC＝120°， ∵∠AP'P＝60°，

∴∠AP'C'+∠AP'P＝180°， ∴P、P'、C'在同一直线上， ∴B、P、P'、C'在同一直线上， ∴此时PA+PB+PC的值为最小， 故答案为：∠APB＝∠APC＝120°； 问题的延伸：

如图3，Rt△ACB中，∵AB＝2，∠ABC＝30°， ∴AC＝1，BC＝

，

把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，

当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'C'，BC＝BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'＝PB，

∵∠ABC＝∠APB+∠CBP＝∠APB+∠C'BP'＝30°， ∴∠ABC'＝90°， 由勾股定理得：AC'＝

∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'＝AC'＝

＝，

． ＝

，

则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为27．【解答】解：（1）BE＝BF，

证明：∵E、F的速度相同，且同时运动， ∴AE＝DF，

又∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝4， ∵BD＝4， ∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD是等边三角形， 同理△BDC也是等边三角形， ∴∠A＝∠BDC＝60°， 在△ABE和△DBF中，

，

∴△ABE≌△DBF（SAS）， ∴BE＝BF；

（2）由（1）得：△ABE≌△DBF， ∴∠ABE＝∠DBF，

∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝∠ABD＝60°， ∵BE＝BF，

∴△BEF是等边三角形， ∴EF＝BE，

如图2，当动点E运动到BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小，此时EF最小， ∵AE＝2，AB＝4， ∴EF＝BE＝∴EF的最小值是2

＝2，

，

△BEP中，∠EBP＝30°，∠BEF＝60°， ∴∠BPE＝90°， ∴BP＝

∴S△BEF＝EF?BP＝×

（3）如图3，当点E运动到DC边上时，∠AMD大小不发生变化， 在△BED和△DFC中， ∵

，

＝3，

＝3

；

∴△BED≌△DFC（SAS）， ∴∠BED＝∠DFC， ∵∠BED+∠BEC＝180°， ∴∠BEC+∠DFC＝180°， ∵∠C＝60°，

∴∠FME＝∠BMD＝120°，

∴∠BAD+∠BMD＝60°+120°＝180°， ∴A、B、M、D四点共圆， ∴∠AMD＝∠ABD＝60°．

附加题（本大题共3个小题，第1、2题，每小题5分，第3题10分，共20分，得分不计入总分.）28．【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，

此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2）， 解得m＝6．

（2）x＝2为原方程的增根，

此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2）， 解得m＝﹣4．

（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x＝﹣10．