高中数学必修2-3第二章章末复习

章末复习

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系

?平行?共面直线??

?相交??

?异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

3．平行的判定与性质

(1)直线与平面平行的判定与性质

判定 定义 定理 性质 图形 条件 结论

(2)面面平行的判定与性质

判定 定义 定理 性质 a∩α＝? a∥α a?α，b?α，a∥b b∥α a∥α a∩α＝? a∥α，a?β，α∩β＝b a∥b 图形 条件 结论 α∩β＝? α∥β a?β，b?β，a∩b α∥β，α∩γ＝a， α∥β，a?β a∥α ＝P，a∥α，b∥α β∩γ＝b α∥β a∥b (3)空间中的平行关系的内在联系

4．垂直的判定与性质

(1)直线与平面垂直的判定与性质

图形 条件 a⊥b，b?α(b为α内的任意直线) 判定 a∥b，a⊥α a⊥α，b?α 性质 a⊥α，b⊥α

(2)平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言 如果一个平面经过另一判定定理 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂性质定理 直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 (3)空间中的垂直关系的内在联系

错误!?l⊥α 错误!?α⊥β 图形语言 符号语言 a∥b a⊥b b⊥α a⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝O a⊥α 结论 a⊥α

5．空间角

(1)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°. (2)直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角． ②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

类型一 空间中的平行关系

例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

考点 空间中的平行问题

题点 空间中的共点、共线、共面问题

解 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点1O，连接FO，则PF＝PB.

2

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF?平面PMD，PD?平面PMD，

1

∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝PB，

2∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形，

∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD， ∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD.

反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

①利用线面平行的判定定理．

②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面． (2)判断面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理．

②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)． ③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．

跟踪训练1 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题

(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

(2)解 连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.