南侨中学数学初高中衔接性教材

4．如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE^AC交AC于F，过F

作FG//AB交AE于G，求证：AG2=AF?FC. 图3.1-21

B组

1．如图3.1-22，已知VABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE

EFAF+相交于F，则的值为（ ） FCFD31A． B．1 C． D．2

22

2．如图3.1-23，已知VABC周长为1，连结VABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） 1111A． B． C．2002 D．2003

2002200322

3．如图3.1-24，已知M为YABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与

YABCD面积的比是（ ） 1115A． B． C． D．

34612

图3.1-20

图3.1-22

图3.1-23

图3.1-24

4．如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD. （1） 求证：OE=OF；

OEOE+（2） 求的值； AD1BC12+=（3） 求证：. ADBCEF

3.2三角形 3.2.1三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形

图3.1-25

的问题.

如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心图3.2-1 在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

图3.2-2

例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE交于点G，

1AB， 2图3.2-3

QD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且DE=\\VGDE∽VGAB，且相似比为1：2，

\\AG=2GD,BG=2GE.

设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F. 则G与G'重合，

图3.2-4

\\ AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等（如图.3.2-5）

例2 已知VABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为VABC的内心，

、A、CA上B的射影分别为D、E、F，求证：且I在VABC的边BCb+c-aAE=AF=.

2证明 作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切

图3.2-5

圆在三边上的切点，

QAE,AF为圆的从同一点作的两条切线，

\\AE=AF，

同理，BD=BF，CD=CE.

\\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD

=AF+AE=2AF=2AEb+c-a图3.2-6 即AE=AF=.

2例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形. 证明 如图，连AO并延长交BC于D.

QO为三角形的内心，故AD平分DBAC，

ABBD\\=（角平分线性质定理） ACDCQO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.

AB\\=1，即AB=AC. AC同理可得，AB=BC.

\\VABC为等边三角形.

图3.2-7

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

例4 求证：三角形的三条高交于一点.

已知 VABC中，AD^BC于D,BE^AC于E，AD与BE交于H点. 求证 CH^AB.

图3.2-8

证明 以CH为直径作圆，

QAD^BC,BE^AC,\\?HDC?HEC90o,

\\D、E在以CH为直径的圆上， \\?FCB?DEH.

同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得

?BED?BAD.

\\?BCH?BAD，

图3.2-9