2-均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真-课程设计说明书

淮南师范学院课程设计说明书

写成指数形式解是方便的。为满足边界条件，分离常数常常需取一系列值，形成级数解。若电位与某个量（如z）无关，则解的形式可简化成二维。

在球坐标系中，标量电位V的拉普拉斯方程为

1?1??V1?2V2?V(R)?2(sin?)?22?0 R2?R?RRsin?????Rsin???2 (2-8)

当电位?与方位角?无关时，拉普拉斯方程的通解为

V??(AnRn?n?0?Bn)Pn(cos?) Rn?1 (2-9)

Pn(cos?)为勒让德多项式，An和Bn是待定常数由具体问题的边界条件给出。

2.2 均匀电场中球形介质的电场分布

一半径为a介电常数为?的介质球放置在均匀电场E0中。求介质球内、外的电位及电场。 解：介质球外电位V1和球内电位V2满足拉普拉斯方程，它们都具有轴对称性，其通解分别为

?1???anRn?n??bn??Pn?cos?? Rn?1?（2-10）

?2???cnRn?n??dn??Pn?cos?? Rn?1?（2-11）

其中an,bn,cn,dn是待定系数。电位的边界条件是 （1）R??,V1??E0Rcos? （2）R?0,V2为有限值 （3）R?a:V1?V2 ?0(由边界条件（1）可得

?V1?V2)??() ?R?Ra1??E0,an?0;?n?1?

（2-12）

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均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真

由边界条件（2）可得

dn?0

由边界条件（3）可得

b???01???2?ER33?000,c1????2?E0

00bn?cn?0;n?1

所有常数已经确定，解为

?E???30E0R0cos?3?01?0Rcos????2?2，?2??E0Rcos?。0R??2?0

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（2-13）

（2-14）

（2-15）

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第3章 Mathematica 仿真

Mathematica 仿真程序如下。程序顶格，输出结果居中并标有公式数码。

解：介质球外电位V1和球内电位V2满足拉普拉斯方程，它们都具有轴对称性，其通解分别为 Clear[\

V1V2SumSumAnR^nCnR^nBnR^nDnR^n11pn,n,0,mpn,n,0,mmn0mn0

BnRn1AnRnCnRnpn pnDnRn1 （2-16）

电位的边界条件是

（1）R??,V1??E0Rcos? （2）R?0,V2为有限值 （3）R?a:V1?V2 ?0(?V1?V2)??() ?R?R由边界条件可知，求和只需取至n=1的项。勒让德函数前两顶是P0?1和P0?cos(?)。电位的通解可以简化为

V1V2Sump0p0SumAnR^nCosDnR^n1pn,n,0,1.CosCnR^nBnR^n1pn,n,0,1.1,p11,p1

A0C0B0RD0RCosCosRA1RC1B1R2D1R2 （2-17）

把电位代入边界条件（1）

V1.B00,B10E0RCosA0RCos

A1E0RCos

（2-18）

比较系数知

A0=0;A1=-E0;

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均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真

由边界条件（2）显然可知

D0=0;D1=0;

由边界条件（3）的第一条件 (V1/.R?a)?(V2/.R?a)

B0aCosaE0B1a2C0aCosC1 （2-19）

用Coefficient函数比较上方程cos(?)的系数得方程eq1，比较上方程P0的系数得方程eq2

eq1CoefficientB0aaCosCosaE0C1,CosaE0B1a2aC1B1a2,CosCoefficientC0 （2-20）

eq2B0aC0 B0aC0 （2-21）

由边界条件（3）的第二条件得

0DV1,R.RaDV2,R.Ra

2B1a30B0a2CosE0CosC1 （2-22）

比较上方程cos(?)的系数得方程eq3

eq3E02B1a30C1 显然有

B0=0;

结合方程eq3有

C0=0;

联立求解eq1和eq3可求出B1和C1

solSolveeq1,eq3,B1,C1B1

a3E02a3E000,C13E0200 - 8 -