2020高考数学二轮复习题型汇编《第5讲利用导数证明不等式(2)极值点偏移和拐点偏移》(教师版)

另一方面，由??lnx1?mx1?0，得lnx2?lnx1?m?x2?x1?，

lnx?mx?0?22从而可得，

lnx2?lnx1lnx1?lnx2?．

x2?x1x1?x2?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1．

于是，lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x1又0?x1?x2，设t??1?t?lnt，． x2，则t?1．因此，lnx1?lnx2?t?1x1t?1?t?1?lnt?2t?1，t?1．即：当t?1时，有lnt?2要证lnx1?lnx2?2，即证：

2?t?1?．设t?12?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1???0， 函数h?t??lnt?，t?1，则h??t???22tt?1t?t?1??t?1?所以，h?t?为?1.???上的增函数．注意到，h?1??0，因此，h?t??h?1??0．

2?t?1?2于是，当t?1时，有lnt?．所以，有lnx1?lnx2?2成立，x1x2?e．

t?1

解法二 变换函数能妙解

2证法2：欲证x1x2?e，需证lnx1?lnx2?2．若f?x?有两个极值点x1，x2，即函数f??x?有两个零点．又f??x??lnx?mx，所以，x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根．显然m?0，否则，函数f??x?为单调函数，不符合题意． 由??lnx1?mx1?0?lnx1?lnx2?m?x1?x2?，

lnx?mx?0?22即只需证明m?x1?x2??2即可．即只需证明x1?x2?2． m

2?mx?1??2???1???0，故g?x?在设g?x??f??x??f???x??x??0,??，g??x??x2?mxmm?????????1??1??2???0,?gx?g?0fx?f?x，即，故??????????．

mmm??????由于f???x??211?mx?1??1?，故f??x?在?0,??，?,????． ?m?xx?m??m?设x1?1?2??x2，令x?x1，则f??x2??f??x1??f???x1?， m?m?2m又因为x2，?x1??命题得证．

22?1??1?,???，f??x?在?,????，故有x2??x1，即x1?x2?．原mmmm????解法三 构造函数现实力

证法3：由x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根得m?lnxlnx，令g?x??，xxg?x1??g?x2?，由于g??x??1?lnx，因此，g?x?在?1,e??，?e,????． x22?e2?e2设1?x1?e?x2，需证明x1x2?e，只需证明x1?只需证明f?x1??f??，??0,e?，

x2?x2??e2?即f?x2??f??，即f?x2???x2??e2?f???0． ?x2??1?lnx??e2?x2??e2?即h?x??f?x??f???x??1,e??，故h?x?在?1,e??，h??x???0，22xe?x??e2??e2?故h?x??h?e??0，即f?x??f??．令x?x1，则f?x2??f?x1??f??，因为x2，

xx???1?e2e2??e,???，f?x?在?e,????，所以x2?，即x1x2?e2． x1x1解法四 巧引变量（一）

证法4：设t1?lnx1??0,1?，t2?lnx2??1,???，则由??lnx1?mx1?0得

lnx?mx?0?22?t1?met1kekkt12t1?t2k?t?t?0t?，设，则，．欲证x1x2?e，t???e?1212t2kke?1e?1t2?t2?me需证lnx1?lnx2?2．即只需证明t1?t2?2，即

k?1?ek?ek?1?2?k?1?ek??2?ek?1??k?1?ek??2?ek?1??0．设

故g??k?在g?k??k?1?ek??2?ek?1??k?0?，g??k??kek?ek?1，g???k??kek?0，

???,0??，故g??k??g??0??0，故g?k?在???,0??，因此g?k??g?0??0，命题得

证．

解法五 巧引变量（二）

证法5：设t1?lnx1??0,1?，t2?lnx2??1,???，则由??lnx1?mx1?0得

?lnx2?mx2?0?t1?met1t1klnklnkt12t1?t2xx?e?k?0,1，设，则，．欲证，需t?t???e???1212t2t2k?1k?1t2?t2?me证lnx1?lnx2?2，即只需证明t1?t2?2，即

?k?1?lnk?2?lnk?2?k?1??lnk?2?k?1??0k?1k?1k?12，设

2?k?1??k?1??0g?k??lnk?k??0,1??，g??k??，故g?k?在?0,1??，因此?2k?1k?k?1?g?k??g?1??0，命题得证．

2.设a?R，函数f?x??lnx?ax有两个零点x1、x2，且0?x1?x2． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：x1?x2?e2．

【解析】（1）f?x??0?a?个交点．g??x??lnxlnx，所以f?x??0有两个零点?y?a与g?x??有两xx1?lnx，由g??x??0可得0?x?e，由g??x??0可得x?e，所以g?x?在2x?0,e?上递增，在?e,+??上递减．又因为当x?0?时，g?x????；当x???时，

1?1?g?x??0?；g?e??，所以实数a的取值范围为?0,?．

e?e?【证明】（2）法1：（化二元为一元）依题意，有lnx1?ax1?0，lnx2?ax2?0，于是

lnx1?lnx2?a?x1?x2?，lnx1?lnx2?a?x1?x2?，所以lnx1?lnx2??lnx1?lnx2??x1?x2?x1?x22?x1?x2?x1?x2

．

x1?x2?e2?lnx1?lnx2?2??lnx1?lnx2??x1?x2??2?lnxx1?x21?lnx2??x?2?1?1?xx?，令t?x1?0,1，则上式等价于lnt?2?t?1?，这是与lnx有关的常?ln1??2??x1x2xt?12?1x2用不等式，证明如下：构造h?t??lnt?22?t?1?t?1，0?t?1，则

?t?1??014h??t????，于是h?t?在?0,1?上递增，于是h?t??h?1??0，命题获证．

t?t?1?2t?t?1?2法2：（化二元为一元）依题意，有

lnx1lnx2lnx1x1lnx1x1，即设??，??t??0,1?，

x1x2lnx2x2lnx2x2则lnx1?ln?tx2??lnt?lnx2?tlnx2，于是lnx2?lnt，因此x1?x2?e2?lnx1?lnx2?2? t?1tlnx2?lnx2?2??t?1?lnt?2?lnt?2?t?1?，下同法1．

t?1t?1法3：（极值点偏移）x1?x2?e2?lnx1?lnx2?2，令t1?lnx1，t2?lnx2，则t1、t2是函数g?t??t?aet的两个零点，且0?t1?t2，该问题不是极值点偏移问题，因为g?t?的极值点不是1，需要把g?t??t?aet改为k?t??t?a，问题才转化为极值点偏移问题． etk??t??1?t，由k??t??0可得t?1，由k??t??0可得t?1，所以k?t?在???,1?上递增，在te?1,???上递减，于是0?t1?1?t2．