2020高考数学二轮复习题型汇编《第5讲利用导数证明不等式(2)极值点偏移和拐点偏移》(教师版)

第5讲 利用导数证明不等式（2）

极值点偏移和拐点偏移

[基础回顾]

1.极值点偏移的含义

众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)，则函数

f(x)关于直线x?m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，

且若f(x)为单峰函数，则x?m必为f(x)的极值点. 如二次函数f(x)的顶点就是极值点

x0，若f(x)?c的两根的中点为

间，也就是极值点没有偏移.

x1?x2x?x2，则刚好有1?x0，即极值点在两根的正中22

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x?m左侧的任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)或f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)，则

x1?x2与极值点m必有确定的大小关系： 2

若m?x1?x2x?x2，则称为极值点左偏；若m?1，则称为极值点右偏.22如函数g(x)?xx1?x2x?1g(x)?c的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称0xe2之为极值点左偏.

2.极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；

2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；

3. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，令x0?x1?x2，求证：f'(x0)?0； 2x1?x2，求证：24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，令x0?f'(x0)?0.

[完美题型展现]

题型一 不含参极值点偏移

例1（2013湖南）已知函数f(x)?1?xxx1?x2?0. 证明：当f(x1)?f(x2)(x1?x2)时，e，21?x【解析】易知，f(x)在(??,0)上单调递增，在(0,??)上单调递减。当x?1时，由于

1?x?0,ex?0，所以f(x)?0；同理，当x?1时，f(x)?0。 21?x当f(x1)?f(x2)(x1?x2)时，不妨设x1?x2，由函数单调性知x1?(??,0),x2?(0,1)。下面证明：?x?(0,1),f(x)?f(?x)，即证：

1?xx1?x?xe?e，此不等式等价于221?x1?x(1?x)ex?1?x?0. xe

令F(x)?(1?x)e?1?x,x?(0,1)，则F?(x)??xe?x(e2x?1)，当x?(0,1)时，xe1?xF?(x)?0，F(x)单调递减，从而F(x)?F(0)?0，即(1?x)ex?x?0，

ex所以?x?(0,1),f(x)?f(?x)。

而x2?(0,1)，所以f(x2)?f(?x2)，又f(x1)?f(x2)，从而f(x1)?f(?x2).

玩 转 秘 籍 极值点偏移解题一般处理策略： 第一步：根据f?x1??f?x2??x1?x2?建立等量关系，并结合f?x?的单调性，确定x1,x2的取值范围； 第二步：不妨设x1?x2，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化． 第三步：构造关于x1（或x2）的一元函数T?x??f?xi??f?2a?xi??i?1,2?，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明． 由于x1,?x2?(??,0)，且f(x)在(??,0)上单调递增，所以x1??x2，即证x1?x2?0.

[题型特训]

2?lnx，若x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1?x2?4. x2【解析】由函数f(x)??lnx单调性可知：若f(x1)?f(x2)，则必有x1?2?x2，。

x1.已知函数f(x)?所以4?x1?2， 而f(x1)?f(4?x1)?令h(x)?22?lnx1??ln(4?x1)， x14?x122??lnx?ln(4?x)，则 x4?x2211?2(4?x)2?2x2?x(4?x)2?x2(4?x)h'(x)??2????2x(4?x)x4?xx2(4?x)2??8(x?2)?0x2(4?x)22

所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x)?h(2)?0，

所以f(x1)?f(4?x1)?0即f(x1)?f(4?x1)，所以f(x2)?f(4?x2)，所以

x1?x2?4.

题型二 含参极值点偏移

例2(2016·新课标全国Ⅰ)已知函数??(??)=(???2)e??+??(???1)2有两个零点. (I)求a的取值范围；

(II)设x1，x2是??(??)的两个零点，证明：??1+x2<2. 解：法一：构造对称函数

（Ⅰ）f'(x)?(x?1)e?2a(x?1)?(x?1)(e?2a)． （i）设a?0，则f(x)?(x?2)e，f(x)只有一个零点．

（ii）设a?0，则当x?(??,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0．所以f(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增． 又f(1)??e，f(2)?a，取b满足b?0且b?lnxxxa，则 2f(b)?a3(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0，故f(x)存在两个零点． 22（iii）设a?0，由f'(x)?0得x?1或x?ln(?2a)． 若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0，因此f(x)在(1,??)上单调2递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．

ea??若，则ln(?2a)?1，故当x?(1,ln(?2a))时，f'(x)?0；当x?(ln(?2a),??)时，

2f'(x)?0．因此f(x)在(1,ln(?2a))单调递减，在(ln(?2a),??)单调递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．

综上，a的取值范围为(0,??)．