2016届高考数学一轮复习 题组层级快练82（含解析）

题组层级快练(八十二)

(第二次作业)

1．已知ξ的分布列为

ξ P －1 1 20 1 31 1 61231则在下列式中：①E(ξ)＝－；②D(ξ)＝；③P(ξ＝0)＝.正确的个数是( )

3273A．0 C．2 答案 C

111

解析 E(ξ)＝(－1)×＋1×＝－，故①正确．

263

B．1 D．3

D(ξ)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，故②不正确．由分布列知③正确．

2．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数X的均值是( )

A.C.

55

650 3

B.40 3

13121313131569

D．10

答案 C

11455

解析 至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－)(1－)＝1－＝.∴X～B(30，)，∴E(X)＝

33999550

30×＝.

93

3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )

A.C.1

481 12

B.1 24

1D. 6

答案 D

解析 设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为

X P 16

3 2 0 a b c E(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤. 当且仅当3a＝2b时，等号成立．

4．设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________. 1

答案 ±

2

解析 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的均值为

a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7

7

＝a4，则

2

a1－a4

2

＋a2－a4

7

2

＋…＋a7－a4

112

＝4d＝1，d＝±，故填±.

22

5．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．

1

答案 ，25

2

解析 D(ξ)＝100p(1－p)≤100·(

p＋1－p2

)＝25，

2

1

当且仅当p＝1－p.即p＝时，D(ξ)最大为25.

2

6．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶211

段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，，，且各阶段通过与否相互独立．

334

(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

(2)设该选手比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 417

答案 (1) (2)

99

解析 (1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事211

件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

334

214

所以所求的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×(1－)＝. 339(2)依题意知ξ的可能取值为1,2,3.

P(ξ＝1)＝P(A)＝1－＝，

P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×(1－)＝， P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. ξ的分布列为

2

3123923

13

49

2133

ξ P 13

49

1 1 32 4 93 2 9ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 7．(2015·郑州质检)工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．

(1)求报废的合格品少于2件的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望． 18

答案 (1) (2)

53

解析 (1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1， A21A2A2A42

而P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

6×5156×5×415121

故P(ξ<2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝.

15155(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4， A3×A2×A41

P(ξ＝2)＝＝， 4

A65A4×A2×A44

P(ξ＝3)＝＝， 5

A615A5×A2×A41

P(ξ＝4)＝＝， 6

A63

12

由(1)知P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝.

1515故ξ的分布列为

1

1

4

1

1

3

1

1

2

2

211

21799

ξ P 115

215

15

0 1 15415

1 2 151833

2 1 53 4 154 1 3E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

降水量X 工期延误天数Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：

(1)工期延误天数Y的均值与方差；

(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 6

答案 (1)均值为3，方差为9.8 (2)

7解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：

P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.

所以Y的分布列为

Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3， D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.

故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.

(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7. 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6， 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝

P300≤X<9000.66

＝＝. PX≥3000.77

6

故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 7

9．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为A，B，C，D，E五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

成绩等级 成绩(分) 人数(名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3 (1)根据上面的统计数据，试估计从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“A或B”的概率；

(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及数学期望E(X)．

1

答案 (1) (2)1

3

46

解析 (1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“A或B”的频率为＋＝

3030101＝. 303