（名师导学）2020版高考数学总复习第二章函数第13讲函数与方程练习理（含解析）新人教A版

第13讲 函数与方程

夯实基础 【p29】

【学习目标】

1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．

2．利用函数的零点求解参数的取值范围． 【基础检测】

1．函数f(x)＝e＋x－4的零点所在的区间为( )

x

A．(－1，0) B．(1，2) C．(0，1) D．(2，3)

【解析】因为y＝e与y＝x－4都是单调递增函数， 所以函数f(x)单调递增， ∵f(1)＝e－3<0，f(2)＝e－2>0， ∴f(1)f(2)<0，

∴由零点存在定理可得有且仅有一个零点x0∈(1，2)． 【答案】B

2．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )

2

x

【解析】A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续，因此

1

不能用二分法求零点；D中函数在x轴下方没有图象，因此不能用二分法求零点，故选C.

【答案】C

3．函数f(x)＝2－log1x的零点个数为( )

2

|x|

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】∵f(x)＝2－log1x的定义域为(0，＋∞)，

2∴f(x)＝2－log1x＝2－log1x＝2＋log2x.

22又函数y＝2和y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)＝2＋log2x在(0，＋∞)上单调递增． 1?1?又f??＝24＋log2 ＝24－2<0，f(1)＝2>0， 4?4?

1

1

xx|x|

x

x

|x|

?1?由零点存在性定理知函数f(x)在?，1?上有唯一零点．

?4?

【答案】B

4．设f(x)＝3ax－2a＋1，若存在x0∈(－1，1)，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )

A.?－1，? B．(－∞，－1)

??

1?5?

??C.(－∞，－1)∪?，＋∞?

?

??D.?，＋∞?

?

【解析】∵f(x)＝ax－2a＋1， 所以函数有且只有一个零点， 若存在x0∈(－1，1)，使f(x0)＝0， 则f(－1)·f(1)<0，

即(－3a－2a＋1)·(3a－2a＋1)<0， 即(－5a＋1)·(a＋1)<0， 1

解得a<－1或a>，

51?5

1?5

2

?1?故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪?，＋∞?. ?5?

【答案】C

?x－4x＋a，x<1，?

5．已知函数f(x)＝?若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围

??ln x＋1，x≥1，

2

是________．

【解析】当x≥1时，令f(x)＝2，解得x＝e，所以方程f(x)＝2在[1，＋∞)上有一个解，则x<1时，只有一个解，令f(x)＝2，即x－4x＋a－2＝0在x<1时，只有一个解，

即函数y＝x－4x＋a－2在此区间内只有一个零点．

因为函数对称轴为x＝2，且图象开口朝上，所以x<1时函数单调递减， 所以根据函数性质，当x＝1时，函数值小于0，即1－4＋a－2<0，解得a<5. 【答案】(－∞，5) 【知识要点】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有__零点__．

(3)函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断__的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)零点的分布

根的分布 (m0??b?－2a02

2

2

x1

mm ??f（m）>0f(m)<0 Δ>0x10 ??f（n）>0f（m）>0???f（n）<0 ??f（p）>0 Δ＝0???b m<－0m

考点1 函数零点区间的判定和求解

2

例1(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2的零点所在的大致区间为( )

xA．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

2

【解析】易知函数f(x)＝ln(x＋1)－2在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 2－2<0，

x1

f(2)＝ln 3－>0. 2

2

即f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－2的零点所在的大致区间为(1，2)．

x【答案】B

4