知识讲解 - 同角三角函数基本关系式和诱导公式（文）

同角三角函数基本关系式和诱导公式 编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：sin2x?cos2x?1,tanx?握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法.

2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】

同角三角函数基本关系式和诱导公 式 【考点梳理】

考点一、同角三角函数基本关系式

1．平方关系：sin2??cos2??1;2．商数关系：tan??sinx,tanxcotx?1，掌cosx同角三角函数基本关系式 诱导公式

sec2??1?tan2?;cos?. sin?csc2??1?cot2?.

sin?;cos?cot??3．倒数关系：tan??cot??1;sin?csc??1;要点诠释：

cos??sec??1

①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1?sin??cos?，

221?sec2??tan2??tan45?及方程思想的运用. 考点二、诱导公式

，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法

sin(???)??sin?,sin?(??)?s?insin?(???)si?n, ,cos(???)??cos?, cos?(??)c?os , cos?(???)?co?stan(???)?tan?.(???)?ta?n.tan?(??)?t?an.tan?第1页 共7页

sin(??)?cos?,2cos(??)?sin?.2sin(??

sin(???)2cos(???)?2?c?os

,.?s?in3?3???)??cos?,sin(???)?c?os,22

3?3?cos(??)??sin?.cos(???)s?in.22要点诠释：

（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇变”是指所涉及的轴上角为

?2的奇数倍时（包括4组：

?2??，

3???）函数名称变为原来函数2的余函数；其主要功能在于改变函数名称.

“偶不变”是指所涉及的轴上角为

?2的偶数倍时（包括5组：2k???,??,???,2???）, 函数名

称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.

（2）诱导公式的引申：

sin(k???)?(?1)ksin?,cos(k???)?(?1)kcos?, tan(k???)?tan?.(k?Z)【典型例题】

类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式

4?，??(,?)，求cos?、tan?的值． 5234【答案】cos???，tan???.

53432【解析】方法一：∵sin??，∴cos???1?sin???，

55例1. 已知sin?? ∵??(?2,?)，

3sin?4??. ，tan??5cos?3∴cos???方法二：∵??(?2,?)，∴cos??0，tan??0

34，tan???. 532由图形可以知道：cos???2【总结升华】①利用公式：sin??cos??1求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.

举一反三：

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【变式1】已知cos??1?，??(?,0)，求sin?、tan?. 42【答案】sin???15；tan???15． 41152，∴sin???1?cos???， 44【解析】∵cos?? ∵??(??2,0)，

sin?15??15. ，tan??cos?43?)，tan??2，求cos?. 2∴sin???【变式2】已知??(?,【答案】

4. 3类型二、三角函数式的求值、化简与证明

1cos(3???)cos(??2?)，求 ?33cos(??)[cos(???)?1]10cos?sin(???)?cos?211【解析】由题有?sin???lg310??，?sin??，

33例2.已知sin(???)?lg原式??cos?cos??

cos?[?cos??1]cos?(?cos?)?cos??1122????18 221?cos?1?cos?1?cos?sin?【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）应用诱导公式的重点是“函数名称”与“符号”的正确判断，常用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”.

举一反三： 【变式1】若cos(??3?3sin(???)cos(2???)tan(2???))?，求f(?)?.

3?25tan(????)cos(???)2【答案】?4 5334，?sin???,?cos???， 555?sin?cos(??)tan(??)sin?cos?tan?4原式????cos???

3??tan?sin?5tan(??)cos(??)2【解析】由题有?sin??例3.化简

sin(k???)cos?(k?1)????sin?(k?1)????cos(k???),k?Z

【解析】（1）当k?2n,n?Z时，

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原式?sin(??)cos(????)?sin?(?cos?)???1；

sin(???)cos??sin?cos?（2）当k?2n?1,n?Z时， 原式?sin(???)cos(??)sin?cos???1.

sin?cos?sin?cos?【总结升华】当三角函数式中含有k?时，不能直接运用诱导公式进行变形，需对k分奇偶进行讨论.

举一反三：

cot(??)sin(??5?)cos(8???)2【变式1】化简 ??3?tan(3???)tan(??)sin(???4?)2【答案】sin?

【解析】原式??sin(???)tan?cos(??)?sin?tan?cos???????sin?

tan(??)?cot?sin(??)?tan??cot??sin?【变式2】化简

sin???(2n?1)???2sin???(2n?1)??sin(??2n?)cos(2n???)

【答案】?3 cos?【解析】原式?sin?(???)?2n???2sin?(???)?2n??sin(??2n?)cos(2n???)

?sin(???)?2sin(???)?sin??2sin?3???

sin?cos?sin?cos?cos?sinx|cosx|tanx??的值. |sinx|cosx|tanx|【高清课堂：三角函数的概念xxxxxx 例4】 【变式3】求

【答案】当x为第一象限角时，值为3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1.

sin??tan??sin?

cot??csc?sin?sin??sin?(cos??sin?)cos? 【解析】左边??cos?1cos??sin?sin?例4.证明tan?(cos??sin?)?sin?(cos??sin?)sin2???

cos?cos??sin??cos??sin?=右边

cos?【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.

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