中考数学总复习基础知识过关：第27课时 图形的相似(含答案)

第27课时 图形的相似

知能优化训练 中考回顾

1.(2018广东广州中考)在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为( ) A. B. C. D. 答案C 2.

(2018湖南邵阳中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD,则CD的长度是( ) A.2 答案A 3. B.1

C.4

D.2

(2018山东临沂中考)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是( ) A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m 答案B 4.(2018山东菏泽中考)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是 .

答案(2,2)

5.(2018福建中考)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求:(1)根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;

(2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.

解(1)

△A'B'C'就是所求作的三角形. (2)已知:如图,△A'B'C'∽△ABC,

=k,AD=DB,A'D'=D'B'.求证:=k.

证明:∵AD=DB,A'D'=D'B', ∴AD=AB,A'D'=A'B',

∴.

,∠A'=∠A. ,且∠A'=∠A,

∵△A'B'C'∽△ABC,∴在△C'A'D'和△CAD中,

∴△C'A'D'∽△CAD. ∴=k.

模拟预测

1.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )

答案A

2.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6,A.4.5 C.10.5 答案B B.8 D.14

,则EC的长是( )

3.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,位似比为1∶2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为( ) A.(1,2) B.(1,1) C.() D.(2,1)

答案B

4.如图,点D是△ABC的边BC上任一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为( ) A.a B.a C.a D.a 答案C 5.

如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A'B'C'.已知OB=3OB',则△A'B'C'与△ABC的面积比为( ) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶9 答案D 6.如图,原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心,点A(1,0)与点A'(-2,0)是对应点,△ABC的面积是,则△A'B'C'的面积是 .

答案6 7.如图,在?ABCD中,点E在AB上,CE,BD交于点F,若AE∶BE=4∶3,且BF=2,则DF= .

答案

8.如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为 .

答案7 9.张明同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m时,其影长为1.2 m.当他测量教学楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上.经测量,地面部分影长为6.4 m,墙上影长为1.4 m,则这棵大树高约为 m. 答案9.4

10.如图,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H. (1)求△PEF的边长;

(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由; (3)若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系,并证明你猜想的结论.

解(1)如图,过P作PQ⊥BC于Q.

∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=90°,即AB⊥BC. 又AD∥BC, ∴PQ=AB=.

∵△PEF是等边三角形, ∴∠PFQ=60°.

在Rt△PQF中,sin60°=,∴PF=2.

∴△PEF的边长为2.

(2)(方法一)△ABC∽△CDA.

理由:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠B=∠D=90°. ∴∠1=∠2.

∴△ABC∽△CDA.

(方法二)△APH∽△CFH. 理由:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∴∠2=∠1.

又∠3=∠4,∴△APH∽△CFH.

(3)猜想:PH与BE的数量关系是:PH-BE=1, 证明:在Rt△ABC中,AB=,BC=3,

∴tan∠1=. ∴∠1=30°.

∵△PEF是等边三角形, ∴∠PFE=60°,PF=EF=2.

∵∠PFE=∠1+∠4,∴∠4=30°. ∴∠1=∠4.∴FC=FH.

∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3,FC=FH,EF=2,∴BE+FC=3-2=1.∴PH-BE=1.