数学概率论习题一答案

第一章习题解答

1．解：（1） Ω=｛0，1，…，10｝；

i（2） Ω=｛|i?0，1，…，100n｝，其中n为小班人数；

n （3） Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中； （4） Ω=｛（x,y）|x2?y2<1｝。

2．解：（1）事件ABC表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式C?B是正确的； （3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；

（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，A=B成立。 3．解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）(A?B)C；（5）A?B?C； （6）AB?AC?BC;(7)A?B?C;(8)ABC?ABC?ABC 4．解：因ABC?AB，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） =3×1/4-1/8+0 =5/8

5．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9

P(AB)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1

（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP（A∪B）=min(α+β,1)；

又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β) 6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。

322由题设可知样本点总数n?C10，kA?C5,k?C4。

所以P?A??C5C2310?112； P?B??C4C2310?120

7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，

若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，kA??n?1?!.2!，

1

P?A???n?1?!.2!n!?2n

若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。?i表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，i?1,2,...,n?1 。则样本空间 Ω=??1,?2,...,?n?1? ，事件A=??1,?n?1? 所以 P?A??2n?1

8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为94?1?1?94，样本点总数为104。故 P?A??1?PA?1???91044

9．解：设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。

4224由题设知样本点总数n?C10，kA?C3C7,kB?C7,

P?A??kAn?310,P?B??5kBn?16, 而B?C，所以

610．解：设A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同

P?C??1?P?B??

点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。

5151312样本点总数n?C52，各事件包含的基本事件数为kA?C4C13,kB?C13C4C12C4

kC?C13C4C4C44,kD?C13C4C48 故所求各事件的概率为：

2221141P?A??kAnkCn?C4C13C5222515,P?B??21kBn?C13C4C12C4C52kDn151312,

P?C???C13C4C4C44C552,P?D???C13C4C48C55241

11．解：P?B??1?PB?0.4,P?AB??P?A??PAB?0.7?0.5?0.2 （1）

PA|A?B??P?A?AB?P?A?B?0.70.7?0.4?0.279??????

2

（2） P?AB|A?B??P?AB?P?A?B?PAB?0.20.90.5?2958

（3） PA|A?B???PA?B?????1?0.2?

12．解：令A=｛两件产品中有一件是废品｝，B=｛两件产品均为废品｝，C=｛两件产品中有一件为合格品｝，D=｛两件产品中一件是合格品，另一件是废品｝。则 P?A??Cm?CmCM?mC2M211221111,P?AB??CmC2M,P?C??CM?m?CM?mCmC2M,P?CD??CM?mCmC2M

所求概率为：

（1） P?B|A??P?AB?P?A?P?CDP?C??m?12M?m?12mM?m?1

（2） P?D|C????

13．解：设A、B、C分别表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：P（A）=0.05 P（B|A）=0.4 P（C|AB）=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为： P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）=0.016 14．解：令Ai??从甲团中任选两人，有i名中国旅游者?,i?0,1,2

B=｛从乙团中随机选一人是中国人｝，则：

P?Ai??CnCm2i2?iCn?m,P?B|Ai??a?ia?b?2

由全概率公式有：P?B??2?i?0P?Ai?P?B|Ai??2?i?0CnCm2i2?ia?ia?b?2Cn?m

15．解：令A=｛天下雨｝，B=｛外出购物｝ 则：P（A）=0.3 ， P（B|A）=0.2 ， P（B|A）=0.9

（1） P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.69 （2） P（A|B）=

P?A?P?B|A?P?B??223

16．解：令A=｛学生知道答案｝，B=｛学生不知道答案｝，C=｛学生答对｝ P（A）=0.5 P｛B｝=0.5 P（C|A）=1 P（C|B）=0.25 由全概率公式：P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B） =0.5+0.5×0.25=0.625

0.5所求概率为：P（A|C）=?0.8

0.625

3

17．解：令事件Ai??第i次取到的零件是一等品?,i?1,2

Bi??取到第i箱?,i?1,2 则P?B1??P?B2??0.5 （1）P?A1??P?B1?P?A1|B1??P?B2?P?A1|B2??0.5?（2）P?A2|A1??10?950?491050?0.5?1830?0.4

P?A1A2?P?A1??P?B1?P?A1A2|B1??P?B2?P?A1A2|B2?0.4

0.5???0.5?0.418?1730?29?0.4856

18．证明：因P?A|B??PA|B 则

P?AB?P?B??PAB?????P?B?P?A??P?AB?1?P?B?

经整理得：P?AB??P?A?P?B? 即事件A与B 相互独立。

19．解：由已知有 PAB?PAB?????14，又A、B相互独立，所以A与B相互独立；A与

B相互独立。则可从上式解得：P（A）=P（B）=1/2 20．解：设A“密码被译出”，

Ai＝“第i个人能译出密码”，i =1,2,3

则P(A1)?15,P(A2)?13,P(A3)?14

P(A)?P(A1?A2?A3) 又A1,A2,A3相互独立，

因此P(A)?1?P(A1A2A3) ＝1?P(A1)P(A2)P(A3) ＝1?(1?15)(1?13)(1?14)?0.6

21．解：设Ai?“第i次试验中A出现”，i?1,2,3,4 则此4个事件相互独立。由题设有：

P?A1?A2?A3?A4??1?PA1A2A3A4?1??1?P?A???0.594??

解得P（A）=0.2

22．解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D表示敌机被击落。于是有 D=ABC?ABC?ABC?ABC 故敌机被击落的概率为：

4

?????P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C?

P?D??P?ABC??PABC?PABC?PABC?0.7?0.8?0.9?0.7?0.8?0.1?0.7?0.2?0.9?0.3?0.8?0.9??=0.902

23．解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则 P（A）=0.4，P（B）=0.6，P（C）=0.9 （1） 三人中恰有一人钓到鱼的概率为：

PABC?ABC?ABC?????PABC?PABC?PABC????

=0.4×0.4×0.1+0.6×0.6×0.1+0.6×0.4×0.9 =0.268

（2） 三人中至少有一人钓到鱼的概率为：

P?A?B?C??1?PABC?1?PAPBPC

???????? =1-0.6×0.4×0.1 =0.976

24．解：设D=“甲最终获胜”，A=“第一、二回合甲取胜”；B=“第一、二回合乙取胜”； C=“第一、二回合甲、乙各取胜一次”。则：P?A???2,P?B???2,P?C??2?? P?D|A??1,P?D|B??0,P?D|C??P?D?. 由全概率公式得：

P?D??P?A?P?D|A??P?B?P?D|B??P?C?P?D|C? ?????0?2??P?D?

22所以 P（D）=

?21?2??

25．解：由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，500个错字是否出现在上面，相当于做500次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为：

500 P=?Ck?3k500???1??150150k500?k2?1??k?01C500?50?kk49?50?500?k?0.9974

26．解：设A=“厂长作出正确决策”。

每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次

重复试验，则所求概率为：

5 P（A）=?C5k0.6k0.45?k?0.3174

k?3

5