中考数学专题复习规律探索性

2013年中考数学规律探索专题

一．专题诠释

规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲

规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲

考点一：数与式变化规律

通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

13579,,?，请观察它们的构成规律，用你发例1. 有一组数：,25101726现的规律写出第n（n为正整数）个数为 ．

分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．

解答：解： 12?1?1?2； 21?1

1

32?2?1?2； 52?152?3?1?2； 103?172?4?1?2； 174?192?5?1?；…； 2652?12n?1． n2?1点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．

例2（2010广东汕头）阅读下列材料：

11×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，

312×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，

313×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，

31由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20．

3读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式1?2?2?3?3?4???n?(n?1)

∴第n（n为正整数）个数为

1???(1?2?3?0?1?2)?(2?3?4?1?2?3)???n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)?3

1?n(n?1)(n?2)；照此方法，同样有公式： 31?2?3?2?3?4?3?4?5???n?(n?1)?(n?2)

?5?3, ?2?1???3??5, ??1??2??1?4, ???2?1空 5+2 3+1 -3-1 -5-2 1-2 4+1 1?(1?2?3?4?0?1?2?3)?(2?3?4?5?1?2?3?4)?????4??n?(n?1)?(n?2)?(n?3)?(n?1)?n?(n?1)?(n?2)???1n(n?1)(n?2)(n?3)． 4解：（1）∵1×2 ＝

1(1×2×3－0×1×2)， 312×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，

313×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，…

3110×11 ＝ (10×11×12－9×10×11)，

31∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．

31（2）n(n?1)(n?2)．（3）1260．

3?a?b,一般地，如果? 那么a+c b+d．（用“>”或“<”填空）

?c?d你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？

分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。 解答：＞，＞，＜，＞；

证明：∵a＞b，∴a ＋c＞b＋ c．

又∵c ＞d，∴b＋ c ＞b＋d， ∴a ＋ c ＞ b ＋ d．

点评：本题是一个考查不等式性质的探索规律题，属于中等题．要求学生具有熟练应用不等式的基本性质和传递性进行解题的能力．区分度较好．

考点二：点阵变化规律

在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．

例1：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=（ ）

2

点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．

例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空： 已知 用“<”或“>”填

A．29 B．30 C．31 D．32

分析：有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。

解答：解：设前n行的点数和为s． 则s=2+4+6+…+2n=

(2n?2)n=n（n+1）． 2

若s=930，则n（n+1）=930． ∴（n+31）（n﹣30）=0．

∴n=﹣31或30．故选B．

另外解:n行的点数和可以表示成2＋4＋6＋??＋2n＝2(1＋2＋3

n?n＋1?

＋??＋n)＝2×2＝n(n＋1)，从而得到一元二次方程n(n＋1)＝930，可以求出n＝30.

点评：主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论

的能力．

例2观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形

中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）

解答：解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故

选D．

点评：此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算． 考点三：循环排列规律

循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。 例1：（2007广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（ ）

A． B． C． D．

A.3n﹣2 B.3n﹣1 C.4n+1 考点：规律型：图形的变化类。 专题：规律型。

分析：根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．

3

D.4n﹣3

考点：规律型：图形的变化类． 专题：规律型．

分析：本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2007被4整除后余数是3，从而确定是第3个图形．

解答：解：根据题意可知笑脸是1，2，3，4即4个一循环．所以2007÷4=501…3．所以是第3个图形．故选C．

点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 例2：下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，

在前2013个梅花图案中，

共有 个“

”图案．

考点：规律型：图形的变化类．

专题：规律型．

分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．

解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环．所以2013÷4=503余1，则共有503+1=504个． 考点四：图形生长变化规律

探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.

例1（2011重庆江津区）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ） ①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；

a?b③四边形A5B5C5D5的周长是

4ab④四边形AnBnCnDn的面积是n?1．

2

A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④ 分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD

4

中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

①根据矩形的判定与性质作出判断； ②根据菱形的判定与性质作出判断； ③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5 的周长；

④根据四边形AnBnCnDn 的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．

解答：解：①连接A1C1，B1D1．

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC； ∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；

∴B1D1＝A1C1（平行四边形的两条对角线相等）； ∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理）， ∴四边形A2B2C2D2 是菱形； 故本选项错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；

11111③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××

222221111111AB，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BC， 22222221a?b∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；故本选项正

84确；

④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，

1∴S四边形ABCD＝ab；

2由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，