数值分析课程设计

摘 要

数值计算是具有广泛应用的数学分支，在各个学科中有最新的应用，与MATLAB

软件紧密联系，揭示了一种技术或算法可以利用少量的数学知识就能在科技设计中获得巨大的回报。

本文建立在数值分析的理论基础上，能够在Matlab环境中运行，给出了理论分析、程序清单以及计算结果。以4个主要思想为核心进行展开，首先列主元Gauss消去法求解方程组；然后对一组数据用Lagrange插值的方法求出Lagrange插值多项式；再运用Romberg求积方法，对给出定积分进行积分；最后用Runge-Kutta方法求解常微分方程数值解；在文章的最后用一道综合题结束本文。“本书结构清晰，条理分明，实例范围较广泛。它突出了数值分析的中心主题，给出了大量的算法，尤其是，它提供了取自现实生活的实例。

关键词：列主元Gauss消去，Langrange插值，Romberg积分，Runge-Kutta方法

目 录

实验一 列主元Gauss消去法 ......................................... 1

1 实验目的与要求 ............................................... 1 2 基本原理 ..................................................... 1 3 实验内容及数据来源 ........................................... 1 4 实验结论 ..................................................... 3 实验二 Lagrange插值 ............................................... 4

1 实验目的与要求 ............................................... 4 2 基本原理 ..................................................... 4 3 实验内容及数据来源 ........................................... 4 4 实验结论 ..................................................... 6 实验三 龙贝格求积公式 ............................................. 7

1 实验目的与要求 ............................................... 7 2 基本原理 ..................................................... 7 3 实验内容及数据来源 ........................................... 7 4 实验结论 ..................................................... 8 实验四 Runge-Kutta方法 ............................................ 9

1 实验目的与要求 ............................................... 9 2 基本原理 ..................................................... 9 3 实验内容及数据来源 .......................................... 10 4 实验结论 .................................................... 11 实验五 Gauss-Seidel迭代法实例 .................................... 12

1 实验目的与要求 .............................................. 12 2 基本原理 .................................................... 12 3 实验内容及数据来源 .......................................... 12 4 实验结论 .................................................... 14 心 得 ............................................................ 15 参考文献 .......................................................... 16

实验一 列主元Gauss消去法

1 实验目的与要求

熟悉列主元Gauss消去法的基本原理；

会用matlab程序实现列主元Gauss消去法的全过程。 2 基本原理

为了提高计算的数值稳定性,在消元过程中采用选择主元的方法.常采用的是列主元消去法。给定线性方程组Ax=b, 记A(1)=A,b(1)=b,列主元Gauss消去法的具体过程如下:

(1)(1) 首先在增广矩阵B(1)=(A(1),b(1))的第一列元素中,取|ak|?|aimax1|为11?i?n主元素，rk?r1。

然后进行第一步消元得增广矩阵B(2)=(A(2),b(2))。 再在矩阵

(2)(2)B(2)=(A(2),b(2))的第二列元素中,取 |ak|?|a2maxi2|为主元素，rk?r2。

2?i?n然后进行第二步消元得增广矩阵B(3)=(A(3)，b(3))。按此方法继续进行下去，经过n-1步选主元和消元运算，得到增广矩阵B(n)=(A(n),b(n))。则方程组A(n)x=b(n)是与原方程组等价的上三角形方程组，可进行回代求解。 易证,只要|A|?0，列主元Gauss消去法就可顺利进行。可见，列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素.而全主元Gauss消去法是在每一步消元前,在所有元素中选取绝对值最大的元素作为主元素.但由于运算量大增,实际应用中并不经常使用. 3 实验内容及数据来源

下面先用Matlab编写列主元Gauss消去的函数文件如下： %列选主元的高斯消去法 function X=lufact_my(A,B) %Inpiut A 是系数矩阵，B是右端项 %Output x是解 [N,N]=size(A); X=zeros(N,1); Y=zeros(N,1);

1

C=zeros(1,N); R=1:N; k=1;

while k<=N-1

%求列中最大的值赋给max [max1,j]=max(abs(A(k:N,k))); %交换行

C=A(k,:);%C为A的第k列的值

A(k,:)=A(j+k-1,:); %将A的第K列赋为最大 A(j+k-1,:)=C; d=R(k); R(k)=R(j+k-1); R(j+k-1)=d; %主元为0的情况 if A(k,k)==0

'A is singular. no unique solution' break end

%化为上三角 for m=k+1:N

mult=A(m,k)/A(k,k); A(m,k)=mult;

A(m,k+1:N)=A(m,k+1:N)-mult*A(k,k+1:N); m=m+1; end k=k+1; end

%对右端项做处理，但要保证行的交换相同,要注意R（k）的作用 Y(1)=B(R(1));

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