高考数学(理)一轮复习教案第十篇统计统计案例第3讲变量间的相关关系与统计案例

优质品 非优质品 合 计 360 140 500 320 180 500 680 320 1 000 21 000×?360×180－320×140?K2＝≈7.35＞6.635，

500×500×680×320

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．

考向三 线性回归方程

【例3】?(2012·菏泽模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

x y (1)请画出上表数据的散点图； ^x＋a^；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程^y＝b (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

^、b^，即可求出线性回归方程． [审题视点] (2)问利用公式求a

(3)问将x＝100代入回归直线方程即可． 解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．

3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(2)由对照数据，计算得：?x2i＝86，

i＝1

3＋4＋5＋62.5＋3＋4＋4.5x＝＝4.5(吨)，y＝＝3.5(吨)．

44已知?xiyi＝66.5， i＝1

4

4

所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

?xiyi－4x·y

^＝i＝1b

4

＝

2

?x2i－4x

4

66.5－4×4.5×3.5

＝0.7，

86－4×4.52

i＝1

^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35. a

因此，所求的线性回归方程为^y＝0.7x＋0.35.

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．

在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否

具有线性相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程．

【训练3】 (2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x/cm 174 儿子身高y/cm 175 则y对x的线性回归方程为( )． A．y＝x－1 1C．y＝88＋2x

B．y＝x＋1 D．y＝176

176 175 176 176 176 177 178 177 174＋176＋176＋176＋178

解析 由题意得x＝＝176(cm)，

5

175＋175＋176＋177＋177y＝＝176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归方程，

5经验证知选C. 答案 C

阅卷报告15——数据处理不当导致计算错误而失分

【问题诊断】 由于大多数省市高考要求不准使用计算器，而线性回归问题和独立性检验问题仍是近几年新课标高考的常考点，并且大多是考查考生的计算能力，就计算方面常有不少考生因计算出错而失分．

【防范措施】 平时训练时首先养成勤于动手的习惯，亲自动手计算，再者考场上要保持心态放松，做题时细心认真，最终可减少错误的发生．

【示例】?(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 需求量(万吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程^y＝bx＋a； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量． 实录 (1)x＝2 006，y＝b＝

?2002－2006??236－260.2?＋?2004－2006??246－260.2?＋?2006－2006??257－260.2?

?2002－2006?2＋?2004－2006?2＋?2006－2006?2＋?2008－2006?2＋?2010－2006?2?2008－2006??276－260.2?＋?2010－2006??286－260.2?

＋ ?2002－2006?2＋?2004－2006?2＋?2006－2006?2＋?2008－2006?2＋?2010－2006?2＝6.2，

错因 求b时计算出错，b值不准确．a＝y－bx＝260.2－6.2×2 006＝－12 177. ∴^y＝6.2x－12 177.

(2)^y＝6.2×2 012－12 177＝297.4.

正解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份－2006 －4 －2 －11 0 0 2 19 4 29 236＋246＋257＋276＋286

＝260.2.

5

需求量－257 －21 对预处理后的数据，容易算得， x＝0，y＝3.2，

?－4?×?－21?＋?－2?×?－11?＋2×19＋4×29－5×0×3.2b＝ ?－4?2＋?－2?2＋22＋42－5×02260

＝40＝6.5，a＝y－bx＝3.2.

由上述计算结果，知所求回归直线方程为y－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，

即^y＝6.5(x－2 006)＋260.2.①

(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．