中学数学研究性教学设计案例

3、变中有变

变有不变，同样的，变中还有变．在同一个问题系统中，各因素往往是相互关联和相互影响的，一个因素的变化，将导致另一个因素的变化．数学中变中有变的例子比比皆是．如几何体的形变中，点动致线动，线动致面动，面动致体动．

三、 “变”的类型

“变”即变式，一般指不断变更问题的情境或改变问题的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断变化的方式①．而本文中的变式泛指不断变更问题的情境或改变问题的角度，在保持事物的主要特征不变的情况下，使事物的部分属性不断变化的方式．变式探究就是借鉴科学家发明创造的思想方法和数学问题的编拟手法，通过观察、实验、猜测、验证、推理等方式对数学问题作多角度、多方面的改变，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，由一个问题转变为新的问题的探究方法和过程．这

里，我们把探索的最初那个问题称为本原问题，而把改变本原问题而得到的新问题称为变式问题．因此，简单地说，变式探究就是从本原问题探索出变式问题的方法和过程．

根据一个具有题目条件、题目结论的完整数学本原问题，通过条件变式和结论变式两个基本途径可以得到不同的变式问题，我们称由改变题目条件而得到的变式问题为条件变式问题，称由改变题目结论而得到的变式问题为结论变式问题．条件变式的基本方式有三种，即变“元素状态”、变“构造元件”和变“关联结构”，结论变式的基本方式也有三种，即变“考察对象”、变“探索深度”和变“设问方式”．从本原问题到变式问题的转变类型，可以用一个简图来表示（见图1）．

题目条件

本原问题

①

题目结论 构造元件 关联结构 考察对象 元素状态 探索深度 设问方式 条件变式 图1 数学问题变式探究的类型

邵潇野.例谈及和习题教学的变式策略[J].中学数学教与学（初中读本），2009，10：21-25．

变式问题 结论变式 一个变式问题的获得，若是通过改变本原问题的元素状态、构造元件、关联结构、考察对象、探索深度、设问方式六个方面之一而得到的变式问题就称为单一变式（或称串行变式），若是通过改变两个或两个方面以上而得到的变式问题的类型就称为复合变式（或称并行变式）．若变式过程是从本原问题而得到的变式问题，则称这种变式类型为顺向变式，若再从变式问题逆推本原问题，则称这个变式类型为逆向变式；若从本原问题变式得到相关问题，则称为横向变式；若由变式问题继续纵深探究再得到新变式问题，这个变式类型又称为纵向变式．

四、“变”的策略

几何画板是探究平面几何问题的一个有力工具，我们常常借助它强大的功能来实施变式探究．下面我们以一道普通的几何题作为本原问题并结合变式探究的类型来探讨变式探究策略．限于文章篇幅，我们探讨的变式策略以单一变式方式为主，并且将略去探究结论的论证过程，读者若有兴趣可以加以论证，另外，也略去了几何画板用于变式探究的具体操作过程的描述．

本原问题：如图2，已知点C为线段AB内的一点，分别以线段AC,BC为边向线段AB的同侧作等边?ACD和等边?BCE，连接AE,BD，求证：S?ACE?S?DCB．

EDDDEACBA

C图2

BAB（1）

C（2）

图3

E 评注：解决本问题并不难，只需找出图2中边、角关系，利用三角形全等的判定定理即可证明．

1、变“元素状态”

变“元素状态”是指改变本原问题中涉及的定点、动点等的位置，线段、角度等元素的长短、大小，而探索原结论或相关结论的变化情况．在本原问题中动点为C是可变因素，其运行轨迹是线段AB内．如果我们把动点C的运动状态改变，即对轨迹范围作改变，则可得到以下三个变式问题：

变式1 如图3(1)、(2)，已知点C为直线AB上的一点，分别以线段AC,BC为边作

等边?ACD和等边?BCE，连接AE,BD，求证：S?ACE?S?DCB．

评注：变式1的元素有两点变化：（1）点C的运行轨迹从线段AB内，变到了直线AB上；（2）所作的等边三角形不一定为直线AB的同侧，异侧也可(图3（2）)．此时，变式1的结论不改变．

如果我们把动点C的轨迹脱离于线段AB，也即动点C在异于点A,B的平面中，则有如下变式2：

变式2 如图4，已知点C为直线AB外一点，连接AC,BC，并分别以线段AC,BC为边作等边?ACD和等边?BCE，连接AE,BD，求证：S?ACE?S?DCB．

D

评注：在“几何画板”中，度量?ACE和?DCB的面积，将点C设置为平面中的“动画点”．并考察在动点C运动下?ACE和?DCB面积的变化情况．

如果将变式2作为本原问题，将叙述“已知点C为直线AB外一点，连接AC,BC”简化，将?ABC改为特殊三角形，再改变一些元素状态，进行纵向变式又可得到变式3：

ECA图4

B?ABC是以?C为顶角，变式3 如图5，且大小为120?的等腰三角形，分别以AC,BC为边向外侧作?ACD,?BCE，并使得CD?CE,?DCE?120?，连接AE,BD．求证：

S?ACE?S?DCB．

2、变“构造元件”

DECA图5

B变“构造元件”是指通过添加（去除）、替换等方式改变本原问题条件中的某些元件，而探索原结论或相关结论的变化情况．如在本原问题中，“等边?ACD”和“等边?BCE”就是两个“元件”，如果两个三角形分别替换成两个“一般三角形”，则结论就不成立．但如

果抓住这两个元件的特征，从特殊到一般逐步进行改造，则结论或许成立．我们将变式2中的?ACD和?BCE变为两个相似三角形，从而对变式2进行纵向变式可以得到如下变式4：

变式4 如图6，已知?ACD和?BCE是?ABC外侧的两个相似三角形

（?CAD??CBE，?ACD??BCE），连接AE,BD，求证：S?ACE?S?DCB．

评注：变式3是比变式1和变式2更为一般的命题，点C只需异于A,B两点即可，它们的结论也都是相同的，且都为真命题（证略）．但本变式要注意两点：（1）?ACD和?BCE是两个反向相似三角形（三组对应角须严格按图5形式）；（2）构造?ACD和?BCE时，顶点D,E取点方向须同时往?ABC的外侧或内侧．

在变式4的基础上，将元件——两个“相似三角形”又换为两个“正方形”，则得到如下变式5：

变式5 如图7，分别以?ABC的边BC,AC为一边向外作正方形BCEF和正方形

DECA图6

BACDG，连接AF,BD．求证：S?ACE?S?DCB．

3、变“关联结构”

变“关联结构”是指在变“元素状态”或在变“构造元件”基础上，把条件之间的关系或结构进行改造，而探索原结论或相关结论的变化情况．前文中的变式2和变式3就是两个具有关联结构的问题，它们的图形结构相似，求证结论相同，因此，我们不妨将两个变式的题

DGEFCA图7

B