2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：5.3空间向量与立体几何 Word版含解析

第3讲 空间向量与立体几何

考点1 向量法证明平行与垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．

(1)线面平行： l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直：

l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行：

α∥β?u∥v?u＝kv?a2＝ka3，b2＝kb3，c2＝kc3. (4)面面垂直： α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

[例1] [2019·甘肃兰州质检]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.

求证：(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD.

【证明】 (1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示，

则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，

→→→

所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)， →→→→B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－4＝0， 即B1D⊥BA，B1D⊥BD.

又BA∩BD＝B，BA，BD?平面ABD，

因此B1D⊥平面ABD. ?a??(2)由(1)知，E(0,0,3)，G2，1，4?，F(0,1,4)， ??→?a?→??，EF＝(0,1,1)， ，1，1则EG＝2??→→→→B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0， 即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF?平面EGF，因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 利用空间向量证明平行与垂直的步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面中的要素； (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题. 『对接训练』 1．[2018·山东聊城模拟]如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点，运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，

?1??111???M2，0，0，O?2，2，2?. ????11?→→??(1)OM＝0，－2，－2?，BA＝(－1,0,0)， ??→→→→所以OM·BA＝0，所以OM⊥BA. →因为棱柱ADE－BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以BA是平面BCF的一个法向量，且OM?平面BCF，所以OM∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． →→→→1因为DF＝(1，－1,1)，DM＝(2，－1,0)，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)， ?x1－y1＋z1＝0，→→由n1·DF＝n1·DM＝0，得?1 ?2x1－y1＝0， 1??y1＝2x1，解得?1?z＝－?12x1. 11??令x1＝1，则n1＝?1，2，－2?. ??同理可得n2＝(0,1,1)． 因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD. 考点2 向量法求空间角 1．向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，|a·b|则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝. |a||b|2．向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，|n·a|则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝. |n||a|3．向量法求二面角 求出二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角|n1·n2|α-l-β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角|n1||n2||n1·n2|α-l-β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－. |n1||n2|

[例2]

[2019·浙江卷]如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．

(1)证明：EF⊥BC；

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

【解析】 本题主要考查空间直线与直线垂直的证明及直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．

解法一：

(1)如图，连接A1E，

因为A1A＝A1C，E是AC的中点， 所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC， A1E?平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，

所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.

(2)取BC的中点G，连接EG，GF， 则EGFA1是平行四边形．

由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG， 所以平行四边形EGFA1为矩形．

连接A1G交EF于O，由(1)得BC⊥平面EGFA1， 则平面A1BC⊥平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．