41第七章 不等式、推理与证明 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

?x＋0.3y≤90，?

?5x＋3y≤600，?x≥0，x∈N，?y≥0，y∈N，

＋＋

1.5x＋0.5y≤150，

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). x－4y＋3≤0，??

11.变量x，y满足?3x＋5y－25≤0，

??x≥1.y

(1)设z＝，求z的最小值；

x

(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值. x－4y＋3≤0，??

解 由约束条件?3x＋5y－25≤0，

??x≥1，

作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).

??x＝1，22

1，?. 由?解得A?5??

??3x＋5y－25＝0，??x＝1，由?解得C(1,1). ??x－4y＋3＝0，??x－4y＋3＝0，由?解得B(5,2). ??3x＋5y－25＝0，

yy－0(1)因为z＝＝，

xx－0

2

所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmin＝kOB＝. 5

(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点B到(－3,2)的距离最大，dmax＝故z的最大值为64.

x＋y≥1，??

12.若x，y满足约束条件?x－y≥－1，

??2x－y≤2.11

(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；

22

(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围. 解 (1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，

?－3－5?2＋?2－2?2＝8，

可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0).

11

平移初始直线x－y＋＝0，当直线过A(3,4)时，z取最小值－2，过C(1,0)时，z取最大值1.

22所以z的最大值为1，最小值为－2.

a

(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，

2解得－4

故a的取值范围是(－4,2).

x＋y－2≤0，??

13.(2019·锦州质检)已知实数x，y满足不等式组?x≥a，

??x≤y，小值的2倍，则a等于( )

且z＝2x－y的最大值是最

3564A. B. C. D. 4653答案 B

解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分所示(含边界)：

作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知， 当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小， 此时z＝2x－y取得最大值，

??x＋y－2＝0，由?可得D(1,1)， ??x＝y，

所以z＝2x－y的最大值是1；

当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大， 此时z＝2x－y取得最小值，

??x＋y－2＝0，由? ??x＝a，

可得B(a，2－a)，

所以z＝2x－y的最小值是3a－2， 因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍， 5

所以6a－4＝1，解得a＝，故选B.

6