BCA教学案--1.3.1正弦函数的图像与性质（二）

青州二中高一数学BCA课堂教学设计

高一数学BCA课堂教学案

主备人 审核人 使用时间 2018 .2 编号 课题 学习目标 重点 难点 1.3.1 正弦函数的图象与性质(二) 课型 新授课 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期． 3．掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 周期函数、周期、最小正周期的定义.函数y＝sin x的奇偶性 会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期． 反思 提升 B案 1.认真阅读课本P39---42页,做好预习笔记； 2.完成自学园地里的题目,用红色笔做好疑难标记,准备讨论。 1． 正弦曲线 从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于 对称；从诱导公式看，sin (－x)＝ 对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的 函数． 2．函数的周期性: (1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得定义域内的 都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的 ． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 ． 3．正弦函数的周期: (1)由sin(x＋2kπ)＝ 知正弦函数y＝sin x是 函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 2π(2) 函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期:函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是． |ω|C案 探究点一 周期函数的定义: 例1.满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由 跟踪训练1.满足条件：f(x＋a)＝1f反思提升 ?x? (a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由. 1 第 页

青州二中高一数学BCA课堂教学设计 探究点二 最小正周期: 问题1.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期么? 问题2.“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．你能写出符合上述特征的一个周期函数么? 问题3.证明函数的最小正周期常用反证法． 下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sin x的最小正周期的过程,请你补充完整. 证明：由于2π是y＝sin x的一个周期，设T也是正弦函数y＝sin x的一个周期，且 ，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有 . ππ?π??π?令x＝，代入上式，得sin?＋T?＝sin ＝1，又sin?＋T?＝ ，所以 . 22?2??2?另一方面，当T∈(0,2π)时， ，这与 矛盾．故2π是正弦函数y＝sin x的最小正周期． 探究点三 判断下列函数的奇偶性． 例2 判断下列函数的奇偶性． 1＋sin x－cosx?1π?(1)f(x)＝sin?－x＋?；(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；(3)f(x)＝ 2?1＋sin x?2 跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性： 2?3?2(1)f(x)＝cos?π＋2x?＋xsin x； (2)f(x)＝1－2sin x＋2sin x－1 ?2? 探究点四 求下列函数的周期: ?例2 求下列函数的周期．(1)y＝sin?2x＋? π? (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)． 3??小结 对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝2π来求解，对于|ω|y＝|Asin ωx+k|的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练2 已知函数f(x)＝|2sin x＋k|，x∈R.(1)当k＝0时，求f(x)的最小正周期； (2)当k＝1时，作出函数f(x)的简图，借助图象判断f(x)的最小正周期． 2 第 页

青州二中高一数学BCA课堂教学设计 例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈?0，?时，f(x)＝sin x，求f??的值 2???3? 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内π?π??5π?跟踪训练3 若f(x)是以为周期的奇函数，且f ??＝1，求f ?－? 的值 2?3??6? 【当堂检测】 21． 函数y＝sin(πx＋π)的周期是 3 ( ) D．1 ( ) 2?π??5π?． A．2π B．π 2． 下列函数中，周期为π的偶函数是 C．2 A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝|sin 2x| D．y＝1－cosx 3．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)； (2)f(x)＝1－sin x1＋sin x. 4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)的值． A ?xπ?1． 函数f(x)＝3sin?－?，x∈R的最小正周期为 ?24? A.π 2B．π C．2π D．4π 反思 提 升 2． 函数f(x)＝sin?ωx＋??π?π的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于 ?6?5C．15 D．20 A．5 B．10 3． 下列函数中，周期为2π的是 ( ) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝|sin | 224． 下列函数中，不是周期函数的是 3 第 页

xxD．y＝|sin x| ( ) 青州二中高一数学BCA课堂教学设计 A．y＝sin x－1 B．y＝sinx C．y＝|sin x| D．y＝sin |x| 5． 已知f(x)＝sin(πx－π)－1，则下列命题正确的是 ( ) A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数 6． 定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当2???x∈?－，0?时，f(x)＝sin x，则f?－?π?25π??的值为 ?3? 1133A．－ B. C．－ D. 2222π??7.函数f(x)＝sin?2πx＋?的最小正周期是_____． 4???kπ?8．已知函数f(x)＝8sin?x－?－2的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是________． 3??39．已知周期函数f(x)是奇函数，6是f(x)的一个周期，且f(－1)＝1，则f(－5)＝________. 10.若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，求f(x)的解析式． 11．判断下列函数的奇偶性． ?π?(1)f(x)＝cos?＋2x?cos(π＋x)； (2)f(x)＝1＋sin x＋1－sin x； ?2?e＋e(3)f(x)＝sin x－sin x. e－e 12．判断函数f(x)＝ln(sin x＋1＋sinx)的奇偶性． 2?1?3??1π??13．求下列函数的周期:(1)y＝cos ?π－x?；(2)y＝?sin?－x＋??；(3)y＝sin?2x??； 3?3???2??22 4 第 页

2sin x－sin x