群的直积

首先由定理1知G1'，G2'都是G的子群，Gi'与Gi同构。且对任意的

''(a1,a2)?G,(a1,a2)?(a1,e2)(e1,a2)?G1?G2，这一表法是惟一的。 且对任意的

''(a1,e2)?G1,(e1,a2)?G2，有(a1,e2)?(e1,a2)?(a1,a2)?(e1,a2)(a1,e2)。所以，由定

理4知G是G1'与G2'的内直积。

定义3 设G1,G2,?,Gn是有限多个群，构造集合

G??(a1,a2,?,an)ai?Gii?1,2,?,n?，

并在G中定义运算(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1b1,?,anbn)。则G关于上述运算构成群，称为群G1,G2,?,Gn的外直积，记作G?G1?G2???Gn。Gi称为G的直积因子。

定义4 设H1,H2,?,Hn是群G的有限多少个正规子群，如果G满足以下两个条件，我们就称G是H1,H2,?,Hn的内直积。

(1)G?H1H2?Hn??h1h2?hnhi?Hi?;(2)(H1H2?Hi)?Hi?1?{e},i?1,2,?,n.

注：（2）也可以换成H1H2?Hi?1Hi?1?Hn?Hi?{e},i?1,2,?,n. 对多个群直积的情况，我们也有：

定理6 如果群G是有限多个子群H1,H2,?,Hn的内直积，则G同构于H1,H2,?,Hn的外直积。

注：从定理5和定理6可以看到，如果把同构的群不加区分的话，外直积与内直积本质上是一致的。所以我们将内外直积不加区分，统称为群的直积，也可以将内直积写成

G?G1?G2???Gn。另外，直积因子的次序可以任意调换，也可以随意添加或去掉括号。

定理7 设G?H1H2?Hn则G是子群H1,H2,?,Hn的内直积的充分必要条件是： （1）G中每个元素的表示法唯一；

（2）Hi中任意元素与Hj中任意元素可换（i?j）。 证明 类似于定理4可证。

例6 证明：Z4?Z6?Z5?Z4?Z30

证明 因为Z6?Z5?Z30所以，Z4?Z6?Z5?Z4?Z30。同理，

Z4?Z6?Z5?Z4?(Z6?Z5)?Z4?(Z5?Z6)?(Z4?Z5)?Z6?Z20?Z6

例7 设G??a?为n阶的循环群，n?p11p2G?G1?G2???Gs，这里Gi??anp1n1nn2?psns为n的标准分解式，则

ki?pi?1ni?1pi?1ni?1?psns?,i?1,2,?,s。|Gi|?pins。

证明 显然Gi?G。令ti?p11?pi?1ni?1pi?1ni?1?ps，则(t1,t2,?,ts)?1，故存在

m

u1,u2,?,us?Z使t1u1?t2u2???tsus?1。从而，对G的任意元素a有

am?(a1)tmu1(a2)tmu2?(as)kitmu1s?G1G2?Gs

因此，G?G1G2?Gs，又因为|Gi|?piG?G1?G2???Gs。

，而且G1G2?Gi?1?Gi?{e}，所以

下面我们利用群的直积定义两类重要的群。

定义5 一个群如果能够分解成它的真子群的直积，则称这个群为可分解群；否则称为不可分解群。

例8 Sn是不可分解群。

证明 当n?4时Sn的非平凡正规子群只有An。S4的非平凡正规子群只有A4和Klein四元群K4，而且K4?A4。因此，Sn是不可分解群。

例9 有理数加群Q? 是不可分解群.

证 设H,K是Q? 的任二真子群,则有0?0?bd?ad?da?bc?dcba?H,0?dc?K.于是易知

?H?K,即Q? 的任二真子群的交都不是0.因此 Q?是不可分

解群.

例10 无限循环群是不可分解群; n阶循环群是不可分解群当且仅当n为素数的方幂.

sk证明 （1）设H,K是无限循环群G??a?的任二真子群,且H??a?,K??a?。则

H?K??a[s,t]??{e},所以G的任二真子群的交都不是{e}，从而,G是不可分解群.

k（2）设G??a?,且orda?p,p为素数;又设H,K为G的任二真子群,且

H??aps?,K??apt?,0?s?t?k,则H?K??apt因此,G是不可分解??K?{e}，

群。反之,设n阶循环群G??a?不可分解,则有例7知n必为素数的方幂。

习题 1－9

1. 证明：Z3?V?Z2?Z6，其中V是Klein四元群。 2. Z9?Z6中有多少个9阶元素？

3. Z4?Z8中有多少个4阶元素？

4. 在Z中，设H=<3>,K=<5>。证明：Z=H+K。问：Z与H?K同构吗？ 5. 证明或否定Z?Z是循环群。 6. 证明：Z8?Z2与Z4?Z4不同构。

7. 设R*是所有非零实数构成的乘法群，R?是所有正实数构成的乘法群。证明：R*是R?与子群{-1,1}的内直积。

8. 设G?Z4?Z4,H?{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)},K??(1,2)?。问：G/H是同构于Z4还是Z2?Z2？G/K是同构于Z4还是Z2?Z2？ 9. 证明：复数加群C同构于R?R。

10. 设G?G1?G2。证明：存在G到G2的同态映射?，使Ker??G1,Im??G2。 11. 证明：U(8)同构于Z2?Z2；U(15)同构于U(3)?U(5)。这里

U(n)?{a?Zn|(a,n)?1}，U(n)关于模n剩余类的乘法做成群。

12. 设G?G1?G2???Gn，每个ai是Gi中的有限阶元素。证明：ord(a1,a2,?,an)=[orda1, orda2,?,ordan]。

13. 假设G?G1?G2???Gn。证明：C(G)?C(G1)?C(G2)???C(Gn) 14. 证明：D6?D3?Z2。

15. 假设G1?H1,G2?H2。证明：G1?G2?H1?H2。

15. 假设G1,G2,G3是群。证明：G1?(G2?G3)?G1?G2?G3?(G1?G2)?G3。 16. 设H为G的直积因子,则H的每个正规子群均为G的正规子群. 17. 若G?A?B,B?B1?B2,则G?A?B1?B2.

18. 若G?H1?H2???Hn,Hi?Hi1?Hi2???Hit(i?1,2,?,n),则G也必为这些

iHij的直积(i?1,2,?,n;j?1,2,?,ti).

''''''19. 若G?A?B,则G?A?B,其中G,A,B分别为G,A,B的换位子群.

'20. 若G?H1?H2???Hn,则G?H'1?H'2???H'n

21. 设G,H是两个Abel群.若f是G到H的同态,且存在H到G的同态g,使fg是H的恒等

映射,证明

G?Img?kerf。

22. 设f是Abel群G的自同态,若f2?f,则G?Imf?kerf

23. 设G,H是两个Abel群.f是G到H的同态,且存在H到G的同态g,使gf?Aut(G)是H的恒等映射,证明

H?Imf?kerg。

24. 设G1，G2，?，Gn是n个群,则对1,2,?,n的任意排列i1,i2,?,in

Gi1?Gi2???Gin?G1?G2???Gn.

,均有

25. 设A1?A,B1?B,则A1?B1?A?B,A?B/A1?B1?A/A1?B/B1. 26. 给出群Hi,Kj的例子,使H1?H2?K1?K2,但是没有Hi同构于Kj. 27. 设G是奇数阶Abel群,?? Aut(G),?2?1，令

?1G1??g?G|?(g)?g?,G2??g?G|?(g)?g?，

则G1,G2都是G的子群,且G?G1?G2.

28. 设G?A?B,且G的子群F?A,则F?A?(B?F). 29.

设

N1，N2，?，Nn均?G,则

G/N1?N2???Nn同构于

G/N1?G/N2???G/Nn的一个子群.

30. 设A?G,B?G,,并且G=AB,证明G/A?B?G/A?G/B. 31. 若A?G,B?G且G=AB,则G/A?B?A/A?B?B/A?B.

32. 设G是有限群, A?G,B?G,并且G?AB,(A,B)?1,证明G?A?B.

?，Nn是有限群33. 设N1，N2，G的n个正规子群,且满足

G?N1N2?Nn,N1,N2,?,Nn是两两互素的,则G?N1?N2???Nn.

35. 若Abel群G是由两个有限阶元a,b生成的,则|G||orda?ordb,并且有

G?orda?ordb?G??a???b?..

36. 若Abel群G?H1?H2,其中H1,H2是两个有限群,则G|H1?H2,且

G?H1H2?G?H1?H2.

37. 若Abel群G?H1?H2???Hn,Hi都是有限群,则有G|H1H2?Hn,且G?H1H2?Hn?G?H1?H2???Hn。