高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结（新课标人教A版）

1、 规定：实数?与向量a的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作：?a，它的长度和方向规定如下： ⑴

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a?b?abcos?.

2、 a在b方向上的投影为：acos?. 3、 a?a. 4、 a?22?a??a, ⑵当??0时, ?a的方向与a的方向相同；当a.

2??0时, ?a的方向与a的方向相反.

2、 平面向量共线定理：向量aa?0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a. §2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两

个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a?xi?yj??x,y?. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则： ⑴a?b??x1?x2,y1?y2?，

⑵a?b??x1?x2,y1?y2?， ⑶?a???x1,?y1?， ⑷a//b?x1y2?x2y1. 2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则： AB??x2?x1,y2?y1?. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则

5、 a?b?a?b?0.

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则：

⑴a?b?x1x2?y1y2 ⑵a???x12?y12

????⑶a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 ????⑷a//b?a??b?x1y2?x2y1?0

2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则：

AB??x2?x1?2??y2?y1?2.

x1x2?y1y2x?y?x2?y2121223、 两向量的夹角公式

??a?bs???? co?ab4、点的平移公式

2

平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点

????为P?(x?,y?)（新坐标），平移向量为PP??(h,k)， ?x??x?h则?

??y?y?k.? 函数y?f(x)的图像按向量a?(h,k)平移后的

图像的解析式为y?k?f(x?h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接：空间向量

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?⑵△ABC的重心坐标为?⑴线段AB中点坐标为

x1?x22y2， ,y1?2?x1?x2?x33,y1?y32?y3.

?

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：

?????量是u，则要证明l∥?，只需证明a?u，即a?u?0.

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行 ???? 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的????一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵．平面的法向量： ??若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要????证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.

即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 ? 若向量n所在直线垂直于平面?，则称这个向量

???垂直于平面?，记作n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．

??设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明????l1?l2，只需证明a?b，即a?b?0.

即：两直线垂直⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。

?②设平面?的法向量为n?(x,y,z)．

③求出平面内两个不共线向量的坐标

???a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．

????n?a?0④根据法向量定义建立方程组???.

??n?b?0?①（法一）设直线l的方向向量是a，平面?的法向?????量是u，则要证明l??，只需证明a∥u，即a??u.

?l②（法二）设直线的方向向量是a，平面?内的两

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.

??? ???????a?m?0,则l??. 个相交向量分别为，若m、n（如图） ?????a?n?0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的

法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直

2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 ?? 若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要

????证???，只需证u?v，即证u?v?0.

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角

已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为?，

?? 设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥????l2，只需证明a∥b，即a?kb(k?R).

即：两直线平行或重合⑵线面平行 两直线的方向向量共线。

?①（法一）设直线l的方向向量是a，平面?的法向

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????????AC?BD 则cos??????????.

ACBD⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

???m?n◆ 如果?是钝角，则cos???cos??????，

mn????m?n? 即??arccos??????.

?mn???5、利用法向量求空间距离 ⑴点Q到直线l距离 ?②求法：设直线l的方向向量为a，平面?的法向量???为u，直线与平面所成的角为?，a与u的夹角为?，

则?为?的余角或?的补角 的余角.即有：

若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的

???a?usin??cos???.

au?????方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为

1??2??2h??(|a||b|)?(a?b) |a|⑵点A到平面?的距离 若点P为平面?外一点，点M为平面?内任一点，

⑶求二面角 ①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 ?平面?的法向量为n，则P到平面?的距离就等于?????MP在法向量n方向上的投影的绝对值.

二面角的平面角是指在二面角??l??的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线

AO?l,BO?l，则?AOB为二面角??l??的平

面角.

如图：

A B O l B ??????????即d?MPcosn,MP

?????????n?MP ?MP??????

nMP?????n?MP??

n⑶直线a与平面?之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

②求法：设二面角??l??的两个半平面的法向量分别为m、n，再设m、n的夹角为?，二面角

O A ???????????l??的平面角为?，则二面角?为m、n的夹角

?或其补角???.

根据具体图形确定?是锐角或是钝角：

?????n?MP 即d??.

n???m?n◆如果?是锐角，则cos??cos?????，

mn???m?n即??arccos???；

mn

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⑷两平行平面?,?之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

?????n?MP即d??.

n⑸异面直线间的距离 ? 设向量n与两异面直线a,b都垂直，M?a,P?b,?????d则两异面直线a,b间的距离就是MP在向量n方向

上投影的绝对值。

长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射

影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有

l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1 ?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

?????n?MP 即d??.

n

必修5数学知识点 第一章：解三角形 1、正弦定理： 6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 P推理模式：

PO??,O????PA???A??a?PAa??,a?OA??abc???2R. sinAsinBsinC（其中R为?ABC外接圆的半径）

OAa?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC; abc,sinB?,sinC?; 2R2R2R?a:b:c?sinA:sinB:sinC. ?sinA?用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它

元素。

2、余弦定理：

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 ?PO??,O????推理模式：PA???A??a?AO

a??,a?AP??概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理 设AC是平面?内的任一条直线，AD是?的一条斜线AB在?内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与

AD与AC所成的角为?2， AB? (AD)所成的角为?1，

与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

?a2?b2?c2?2bccosA,?222?b?a?c?2accosB, ?c2?a2?b2?2abcosC.??b2?c2?a2,?cosA?2bc?a2?c2?b2?, ?cosB?2ac??a2?b2?c2.?cosC?2ab?用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式： B

?A?1?2?DC

8、 面积射影定理 已知平面?内一个多边形的面积为SS原，它在平面?内的射影图形的面积为S?S射，平面?与平面?所成的二面角的大小为锐二面角?，则

????S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB 2224、三角形内角和定理： 在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

S'S射 cos??=.

SS原9、一个结论

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?C?A?B???2C?2??2(A?B). 2225、一个常用结论：