18高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时跟踪检测（十三）变化率与导数、导数的运算练习文

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 课时跟踪检测 (十三) 变化率与导数、导数的运算

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( ) A．2(x－a) C．3(x－a)

2

2

2

2

2

2

B．2(x＋a) D．3(x＋a)

3

2

3

2

2

22

解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)＝x－3ax＋2a， ∴f′(x)＝3(x－a)．

2．曲线f(x)＝2x－e与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为( ) A．x－y＋1＝0 C．x－y－1＝0

xx2

2

B．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0

解析：选C 曲线f(x)＝2x－e与y轴的交点为(0，－1)． 且f′(x)＝2－e， ∴f′(0)＝1.

所以所求切线方程为y＋1＝x， 即x－y－1＝0.

3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于( ) A．e C．ln 2

2

xB．1 D．e

1

解析：选B f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017

x＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.

1?π?4．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′??＝________. x?2?

1112?π?解析：∵f′(x)＝－2cos x＋(－sin x)，∴f(π)＋f′??＝－＋·(－1)＝－xxππ?2?3

. π

3

答案：－

π

5．(2016·湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)＝aln x，x∈(0，＋∞)，其中a＞0且a≠1，

xf′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．

ax解析：因为f(x)＝aln x，所以f′(x)＝ln a·aln x＋，又f′(1)＝3，所以a＝

xxx 1

3.

答案：3

二保高考，全练题型做到高考达标

1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0

B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0

1

解析：选C 由于y′＝e－，所以y′

x| ＝e－1，故曲线y＝ex—ln x在点(1，e)

x＝1

3

处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

2．(2017·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝( )

A．－1 C．3

3

B．1 D．4

2

解析：选C 对于y＝x＋mx＋n，y′＝3x＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.

3．已知f(x)＝ax＋bcos x＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为( ) A．－6 C．6

3

4

B．－8 D．8

解析：选D ∵f′(x)＝4ax－bsin x＋7. ∴f′(－x)＝4a(－x)－bsin(－x)＋7 ＝－4ax＋bsin x＋7. ∴f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(2 017)＝6，

∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D. 4．(2017·衡水调研)曲线y＝1－A．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 解析：选A ∵y＝1－∴y′＝

2x＝， x＋2x＋2

2

3

3

2

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) x＋2

B．y＝2x－1 D．y＝－2x－2

x＋2－x2

2＝x＋x＋

，y′|x＝－1 ＝2，

∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

2

127

5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相

22切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )

A．－1 C．－4

1

解析：选D ∵f′(x)＝，

B．－3 D．－2

x∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，

∴切线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

127

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x0＋mx0＋，m<0，

22解得m＝－2.

6．(2017·武汉调研)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________． 解析：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

7．曲线f(x)＝e在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．

解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1. 设其与曲线g(x)＝ax－a相切于点(x0，ax0－a)． 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax0－a＝x0＋1. 1

解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．

21

答案：－ (－1,0)

2

8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝

2

2

2

x2

f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的

导函数，则g′(3)＝________.

解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－11

，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋33

xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.

3

答案：0

3

?1???

9．求下列函数的导数． (1)y＝x·tan x；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).

解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′

?sin x?′＝tan x＋x·cosx＋sinx

＝tan x＋x·??2

cosx?cos x?

＝tan x＋2.

cosx(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x＋12x＋11.

10．已知函数f(x)＝x－4x＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解：(1)∵f′(x)＝3x－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，

即x－y－4＝0.

(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x0－4x0＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x0

－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x0－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点P(x0，x0－4x0＋5x0－4)， ∴x0－4x0＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，

∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

13

1．已知曲线f(x)＝x＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为

4________．

13

解析：由f(x)＝x＋ax＋得，

4

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

23

22

22

xf′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，

1

∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.

4

1

设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，

4

14

4

g′(x)＝－，

x1

－ln x－＝ax， ①??4∴?1

a＝－??x. ②

0

0

0

1

3将②代入①得ln x0＝，

4∴x0＝e， ∴a＝－

1

3434＝－e

?34.

e

答案：－e

?34

132

2．已知函数f(x)＝x－2x＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f′(x)＝x－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，

2

2

k≥－1，??

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，?1

－≥－1，??k解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x－4x＋3<0或x－4x＋3≥1，

2

2

得x∈(－∞，2－2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．

5