双曲线的简单几何性质优秀教案

2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)

一、 教学目标 1. 知识与技能

（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；

（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。 2. 过程与方法

（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；

（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。 3. 情感、态度与价值观

（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力； （2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。

二、 教学重难点

1、教学重点：双曲线的几何性质

2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题

三、 教学过程

结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线 的相关几何性质。

1. 取值范围

(1) 焦点在x轴上：x?a或x??a，y?R (2) 焦点在y轴上：y?a或y??a，x?R

2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形

3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即A1,A2（以图为例）

(1) 实轴——线段A1A2。A1A2?2a,a为半实轴长；

(2) 虚轴——记B1(0,?b),B2(0,b)，则线段B1B2为虚轴。B1B2?2b,b为半虚轴长。 (3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。

一般可设为：x?y?m,(m?0)

4. 离心率：e?22c a(1) 范围：e?1；

(2) 变化规律：e越大，双曲线开口越大；e越小，双曲线开口越小.

5. 渐近线

bx2y2(1) 若2?2?1(a?0,b?0)，则渐近线为：y??x，

aabay2x2(2) 若2?2?1(a?0,b?0)，则渐近线为：y??x，

babx2y2y2x2(3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即2?2?0（或2?2?0）

ababx2y2(4) 渐近线相同的双曲线可设为：2?2??(??0)

ab

题型一：求双曲线的标准方程

例 求满足下列条件的双曲线标准方程

（1） 顶点在x轴上，两定点间的距离为8，e?（2） 焦点在y轴上，焦距为16，e?5； 44； 3x2y2??1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （3） 以椭圆85（4） 过点A(3,?1)的等轴双曲线.

题型二：有关渐近线的计算

例1 已知双曲线的渐近线方程为y??3x，求双曲线的离心率为. 4例2 若双曲线的渐近线方程为y??3x，它的一个焦点为

?10,0，求双曲线的方程.

?x2y2??1有共同的渐近线，且过点?3,42的双曲线方程. 例3 求与双曲线

916??

作业：P61 A组 《导报》第8课时