2017全国卷1理科数学试题解析版(详细解析版)

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5令f?x??25x4?10x5，x?(0,)，f??x??100x3?50x4

2令f??x??0，即x4?2x3?0，x?2

则f?x?≤f?2??80 则V≤3?80?45 ∴体积最大值为415cm3

三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

2a17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．

3sinA（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC?1，a?3，求△ABC的周长．

本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 1a2（1）∵△ABC面积S?.且S?bcsinA

23sinAa21∴?bcsinA 3sinA2322∴a?bcsinA

2322∵由正弦定理得sinA?sinBsinCsinA，

22由sinA?0得sinBsinC?.

321（2）由（1）得sinBsinC?，cosBcosC?

36∵A?B?C?π

∴cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC?又∵A??0，π? ∴A?60?，sinA?1 213，cosA?

22由余弦定理得a2?b2?c2?bc?9 ①

aa?sinB，c??sinC 由正弦定理得b?sinAsinA.

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a2∴bc??sinBsinC?8 ② 2sinA由①②得b?c?33 ∴a?b?c?3?33，即△ABC周长为3?33

18. （12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD中，且?BAP??CDP?90?．

（1）证明：平面PAB?平面PAD；

（2）若PA?PD?AB?DC，?APD?90?，求二面角A?PB?C的余弦值．

（1）证明：∵?BAP??CDP?90? ∴PA?AB，PD?CD 又∵AB∥CD，∴PD?AB

又∵PDIPA?P，PD、PA?平面PAD ∴AB?平面PAD，又AB?平面PAB ∴平面PAB?平面PAD

（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE ∵AB∴OECD

∴四边形ABCD为平行四边形

AB

由（1）知，AB?平面PAD

∴OE?平面PAD，又PO、AD?平面PAD ∴OE?PO，OE?AD 又∵PA?PD，∴PO?AD ∴PO、OE、AD两两垂直

∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz

0，0、B2，2，0、P0，，02、C?2，2，0， 设PA?2，∴D?2，uuuruuuruuurPD??2，，0?2PB?2，2，?2BC??22，0，0 ∴、、

r设n??x,y,z?为平面PBC的法向量

ruuur???n?PB?0?2x?2y?2z?0r由?ruuu，得? n?BC?0?22x?0??????????????????r令y?1，则z?2，x?0，可得平面PBC的一个法向量n?0,1,2

??∵?APD?90?，∴PD?PA

又知AB?平面PAD，PD?平面PAD ∴PD?AB，又PAIAB?A ∴PD?平面PAB

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uuuruuurPD??2,0,?2 即PD是平面PAB的一个法向量，

uuurruuurrPD?n?23??rr?∴cosPD,n?uuu

3PD?n23??由图知二面角A?PB?C为钝角，所以它的余弦值为?3 319. （12分）

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状

态下生产的零件的尺寸服从正态分布N??，?2?．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在???3?，??3??之外的零件数，求P?X≥1?及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在???3?，??3??之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

1161?16222?x?x?x?16x经计算得x??xi?9.97，s????i?i??0.212，其中xi为16i?116?i?1?i?1?16L，16． 抽取的第i个零件的尺寸，i?1，2，?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计 用样本平均数x作为?的估计值???3??，???3???之外的数据，用剩下值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除??的数据估计?和?（精确到0.01）． 附：若随机变量Z服从正态分布N??，?

0.997416?0.9592，0.008?0.09．

2?,则P???3??Z???3???0.9974．

??3??之内的概率为0.9974，落在（1）由题可知尺寸落在???3?，???3?，??3??之外的概率为0.0026．

0P?X?0??C16?1?0.9974?0.997416?0.9592

0P?X?1??1?P?X?0??1?0.9592?0.0408 0.0026? 由题可知X~B?16，?E?X??16?0.0026?0.0416

??3??之外的概率为0.0026， （2）（i）尺寸落在???3?，??3??之外为小概率事件， 由正态分布知尺寸落在???3?，因此上述监控生产过程的方法合理． （ii）

??3??9.97?3?0.212?9.334 ??3??9.97?3?0.212?10.606

??3????9.334，10.606? ???3?，.

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10.606?，?需对当天的生产过程检查． Q9.22??9.334， 因此剔除9.22 剔除数据之后：??29.97?16?9.22?10.02．

1522222222?2?[?9.95?10.02???10.12?10.02???9.96?10.02???9.96?10.02???10.01?10.02?2??9.92?10.02???9.98?10.02???10.04?10.02???10.26?10.02???9.91?10.02?2222??10.13?10.02???10.02?10.02???10.04?10.02???10.05?10.02???9.95?10.02?]??0.008 ???0.008?0.09

20. （12分）

??3?3?x2y21，1P0，1P?1，P1，????????已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?，四点P，，，123??4??22ab????中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程；

2115（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为?1，证明：l过定点．

（1）根据椭圆对称性，必过P3、P4

PP4三点 又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，所以过P2，3，?3?1?，P3??1，?将P2?0，??代入椭圆方程得 2???1?b2?1?，解得a2?4，b2?1 ?3?1?1?2?4b2?ax2∴椭圆C的方程为：?y2?1．

4（2）①当斜率不存在时，设l:x?m，A?m，yA?，B?m，?yA? yA?1?yA?1?2????1 mmm得m?2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l∶y?kx?b?b?1? kP2A?kP2B?A?x1，y1?，B?x2，y2?

?y?kx?b222联立?2，整理得?1?4k?x?8kbx?4b?4?0 2?x?4y?4?0?8kb4b2?4x1?x2?，x1?x2?

1?4k21?4k2y1?1y2?1x2?kx1?b??x2?x1?kx2?b??x1k?k???则P2A P2Bx1x2x1x2.