河北衡水中学2015-2016年度高一下学期期中考试理科数学试卷(解析版)

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④BE与CD1所成角的正弦值为；

⑤二面角A﹣BD1﹣C的大小为． 其中真命题是 ②③④ ．（写出所有真命题的序号）

【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①由于A1B1∥平面ABC1D1，故B1到平面ABC1D1的距离即点E到平面ABC1D1的距离， 连接B1C交BC1于F，则易得B1F垂直于平面ABC1D1，而B1F=

，故点E到平面ABC1D1

的距离为，故①错； ②易得B1C垂直于平面ABC1D1，故∠CBC1为直线BC与平面ABC1D1所成的角，且为45°，故②正确；

③易得空间四边形ABCD1在正方体的面ABCD、面A1B1C1D1内的射影面积为1，在面BB1C1C内、面AA1D1D内的射影面积为，在面ABB1A1内、面CC1D1D内的射影面积为，故③正确；

，BA1=

，

④BE与CD1所成的角，即为BA1与BE所成角，即为∠A1BE，A1E=，BE=

cos∠A1BE==，sin∠A1BE=，故④正确；

⑤在直角三角形BAD1中过A作AH垂直于BD1，连接CH，易知CH垂直于BD1，故∠AHC

是二面角A﹣BD1﹣C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC=∠AHC=，故⑤错．

故答案为：②③④

=﹣，故

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【点评】本题考查命题的真假判断，考查空间线面位置关系，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）（2014黄浦区二模）（文） 已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． （1）求圆柱体的侧面积S侧的值；

（2）若C1是半圆弧A1B1的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．

【分析】（1）利用圆柱体的体积为32π，求出R，即可求圆柱体的侧面积S侧的值；

（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1，因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，求出DC1=

，CC1=

，即可求sinθ的值．

【解答】解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R， ∴πR2AA1=32π， ∴R=2． ∴S侧=2πRAA1=32π．

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（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1．

因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ． 又R=2，∠C1CD=，∠C1O1D=90°， ∴DC1=

，CC1=

．

∴sinθ==．

【点评】本题考查圆柱体的侧面积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题． 18．（12分）（2012秋台州期中）如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积． 【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面 （3分） S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．

故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分） 由

，（9分）

（11分）

所以，旋转体的体积为 （12分）

【点评】本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题． 19．（12分）（2014湖北模拟）如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=点F是PB的中点，点E在边BC上移动． （Ⅰ）若PA=1，求证：AF⊥PC；

，

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（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F﹣ACE的体积为？

【分析】（Ⅰ）证明AF⊥PC，只需证明AF⊥平面PBC；

（Ⅱ）确定∠PAB为二面角P﹣BC﹣A的一个平面角，利用三棱锥F﹣ACE的体积为，求出CE． 【解答】（Ⅰ）证明：∵PA=AB=1，F为PB中点， ∴AF⊥PB（1分） 又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC（2分） 又∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC（3分） ∴BC⊥平面PAB，而AF?平面PAB（4分） ∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC（5分） 而PC?平面PBC，∴AF⊥PC（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PB⊥BC且AB⊥BC（7分） ∴∠PAB为二面角P﹣BC﹣A的一个平面角， 则∠PAB=60° （8分） ∴∴即

（9分）

，解得

时，三棱锥F﹣ACE的体积为（12分）

（11分）