河北衡水中学2015-2016年度高一下学期期中考试理科数学试卷(解析版)

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A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3， 则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3）， ∴

=（﹣3，﹣3，3），

共4个．

设P（x，y，z）， ∵∴

∴|PA|=|PC|=|PB1|=|PD|=|PA1|=|PC1|=|PB|=|PD1|=

，

=

=（﹣1，﹣1，1），

=（2，2，1）． =，

．

，3，，

，

故P到各顶点的距离的不同取值有故选：B．

【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．

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12．（5分）（2011怀柔区一模）已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）

A． B．或36+ C．36﹣ D．或36﹣ 【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或． 故选D

【点评】此题考查了学生的空间想象能力，还考查了球体，三棱锥的体积公式即计算能力． 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 13．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，设中点，则

可用

表示为

=，

=，

=，E，F分别为AA1，C1D1

（+）+ ．

【分析】根据向量的运算性质计算即可． 【解答】解：如图示：

//

，

作FG∥CC′交CD于G， 作AH∥EF交FG于H， 显然

=

，

而=+=+++=+﹣+=（+）+，

故答案为：（+）+．

的相等向量

【点评】本题考查了空间向量的运算，考查数形结合，作出辅助线找出向量

是解题的关键，本题是一道基础题．

14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为 90° ．

【分析】过D作DE⊥BC于E，连结AE，BD交于点O，连结PO．则四边形ABED为正方形，E为BC中点，利用△POA≌△POB得出PO⊥AB，PO⊥AE，于是可证PO⊥ABCD，得出PO⊥AE，又AE⊥BD得出AE⊥平面PBD，从而CD⊥平面PBD，得到CD⊥PB．

【解答】解：过D作DE⊥BC于E，连结AE，BD交于点O，连结PO． ∵∠BAD=∠ABC=90°，△PAB和△PAD都是等边三角形， ∴四边形ABED是正方形，∴O是AE，BD的中点．OA=OB． ∵PB=PD，∴PO⊥BD， ∵PA=PB，OA=OB，PO为公共边， ∴△POA≌△POB， ∴∠POA=∠POB，∴PO⊥AE， ∵四边形ABED是正方形，∴AE⊥BD． 又PO?平面PBD，BD?平面PBD，PO∩BD=O， ∴AE⊥平面PBD． ∵BC=2AD，∴E是BC的中点． ∴CD∥OE， ∴CD⊥平面PBD．∵PB?平面PBD， ∴CD⊥PB． ∴异面直线CD与PB所成角为90°．

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故答案为90°．

【点评】本题考查了异面直线所成的角，证明CD⊥平面PBD是关键． 15．（5分）（2014德州二模）一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是 8

+

π ．

【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和四棱锥的组合体，分别求出两个锥体底面面积和高，代入可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和四棱锥的组合体，

四棱柱的底面面积为3×4=12， 半圆锥的底面面积为

=2π，

，

两个锥体的高均侧视图的高，即2

故该组合体的体积V=×（12+2π）×2=8+π，

故答案为：8+π 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．

16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题： ①点E到平面ABC1D1的距离为；

②直线BC与平面ABC1D1所成角为45°；

③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；