函数y=Asin（ω x+φ）的图像及三角函数模型的简单应用

第四节 函数y=Asin(?x+?)的图象及三角函数模型的简单应用

1. 函数y=cos x(x∈R)的图象向左平移析式为( )

A. y=-sin x C. y=-cos x

?个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解2B. y=sin x D．y=cos x

2. 已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+?)的图象关于直线x=0对称，则?的值可以是( )

A. C.

? 2?4

B. D.

? 3?6

3. 如图为f(x)=Asin(?x+?)(A>0，?>0，|?|

???? 3?????C. y=3sin?2x??

3??A. y=3sin?x?2???? 3????? D. y=3sin?2x??

3??1?x3??4. 在同一平面直角坐标系中，函数y=cos??(x∈[0,2?])的图象和直线y=的交点?222??

B. y=3sin?2x?个数是( ) A. 0 C. 2

B. 1 D. 4

5. 关于函数y=sin 2x-3cos 2x图象的对称性，下列说法正确的是( )

?对称 3???C. 关于点?，0?对称

3??A. 关于直线x=

?对称 6??? D. 关于点?，0?对称

6????5??6. (2010?天津)如图是函数y=Asin(?x+?)(x∈R)在区间??，?上的图象，为了得到这个

66??

B. 关于直线x=

函数的图象，只要将y=sin x(x∈R)图象上的所有点( )

A. 向左平移B. 向左平移C. 向左平移

?1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

23?3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

?1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

26

?个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 64????7. (2010?辽宁改编)设?>0，函数y=sin??x??+2的图象向右平移个单位后与原图

33??D. 向左平移

象重合，则?的最小值是________．

8. (2011?济南模拟)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

?个单位长度，31(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析2式为__________________．

9. 如图所示为函数y=Asin(?x+?)的图象上的一段，则这个函数的解析式为________．

10. (2010?广东)已知函数f(x)=Asin(3x+?)(A>0，x∈(-∞，+∞)，0

(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式；

(3)若f ??时取得最12??12?2???=，求sin ?.

12?5?3

11. (2011?重庆南开中学月考)已知函数f(x)=Asin(?x+?)

???x?R，A?0,??0,0?????的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

2??????，且图象上一个最高点M?,2?. 2?6?(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间．

- 2 -

答案：

6. A 解析：观察图象可知，函数y=Asin(?x+?)中A=1，得?=

2????=?，故?=2，由?????+?=0，??6?

?????，所以函数y=sin?2x??，故只要把y=sin x的图象向左平移个单位，再把各点333??1的横坐标缩短到原来的倍即可．

232?47. 解析：由题意知T=≤?，

2?33∴?≥.

2????8. y=sin?2x?? 解析：把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位

33??1???长度，得y=sin?x??，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，

23?????得y=sin?2x??.

3??T5??2?4??3x3??9. y=2sin? 解析：由图象知，A=2，=-=，即T=. ??6332624??

2?43?3?=?，∴?=，∴y=2sin?x???. ?32?2?5∵当x=?时，y=2，

6?35?∴2=2sin??????，

?26?5??即sin?????=1，

4??5?3?∴?+?=，?=-，

4423???3∴y=2sin?x??.

4??22?10. (1)T=.

3∵

(2)由f(x)的最大值是4知，A=4，

?????????=4sin=4，即sin3??????????=1， ?12??12??4???5?∵0

444???∴+?=，∴?=. 424???∴f(x)=4sin?3x??.

4???????12??2????3?2?2(3)f????=4sin[3????+]=，即sin?3??????=，

512?12?412?4?5?3?3??3f(x)max=f?sin?2??????32?5?=

，即cos 2?=

3， 5∴1-2sin2?=

315，sin2?=，∴sin ?=?. 55511. (1)由题意得f(x)的最小正周期T=又由M??2?2??2=?，∴?===2.

T?2???2?是最高点，得A=2， ?6??且当?=时，f(x)有最大值．

6????????∴sin?2????=sin????=1，∴+?=+2k?，k∈Z，

32?6??3????即?=+2k?，k∈Z. 又∵0＜?＜，∴?=.

626???∴f(x)=2sin?2x??.

6??

- 4 -

?????+2k?≤2x+≤+2k?，k∈Z，得k?-≤x≤k?+，k∈Z； 26236??3?2令+2k?≤2x+≤?+2k?，k∈Z，得k?+≤x≤k?+?，k∈Z.

32626????2????∴f(x)在?k??,k???，k∈Z上单调递增；在?k??,k??，k∈Z上单调递?36?63???(2)令-减．