利息计算在数学中的应用

例四：投资500元，三年在复利方式下会产生利息300元。计算4000元也以相同的实利率投资五年的终值。

解：设实利率为i

500[(1?i)3?1]?300 i?17% A(5)?4000(1?i)5?8769.79元

1.2 贴现函数、名利率、名贴现率

（1）贴现函数：若一个货币单位对于t(t?0)时刻在0单位时刻的价值记为a?1(t)，当t变动时，就称a?1(t)为贴现函数。根据前篇讲的累积函数，我们知道贴现函数是它的倒数函数。那么得到下面两个公式：

在单利方式下，a?1(t)?(1?it)?1 (t?0) 注，t是单利率 在复利方式下，a?1(t)?(1?i)?t (t?0) 注，t是复利率

（2）贴现率：计息期?t1,t2?内，利息收入除以期末货币总量商的值被叫做在时间区间?t1,t2?内的贴现率，记为dt1,t2，即dt1,t2=记为贴现因子。下面补充两个结论：

①贴现率d与利率i：i?A(t2)?A(t1)It1,t2=。另外，我们将v?(1?i)?1A(t1)A(t1)di d??i 1?d1?i②在任何一个计息期的贴现率d和贴现因子v中，同一期的期末利息率用贴现因子贴现给期初的值就是贴现率，即d?iv；二者有互补关系：d?v?1；更进一步分析还可以得到：i?d?id

（3）在日常生活的金融业务中，不仅仅局限于以一年为计息单位，还有一月，一季度，半年等利息计算期，概念名利率和名贴现率由此而生。

i(m)(m?N)换算了m，那么这个i(m)就①名利率：利息在单位计息期内按照利率m是m换算名利率，也叫做挂牌利率。通过定义可以容易得出利率i与m换算名利率i(m)

i(m)mi(m)m) 也可以表示为：i?(1?)?1 或者的关系： 1?i?(1?mmi(m)?m[(1?i)?1]

1m②同上，不难理解p换算名贴现率d(p)(p?N)在相同计息期内与贴现率d的关

d(p)pd(p)p) 也可以这样表示：d?1?(1?) 或者系： 1?d?(1?ppd(p)?p[1?(1?d)]

（p）③在一样的单位计息期内，p换算名贴现率d与m换算名利率i(m)之间的换算关

1p系：

i(m)md(p)?p)?(1?) (1?mp抽象的概念公式理解起来更困难一些，现在看两个例题：，

例五：现有如下不同种五年期的投资方法：方法A，7%的年利率，隔半年计算利息一次；方法B，7.01%的年利率，一年计算利息一次。试比较两种投资方法的收益，从而决定投资选择。

解法1:比较两种方法等价的年实利率

已知方式A的半年换算名利率为iA?(1?7%2)?1?7.1225% 2 而方式B的年实利率iB?7.01%?iA，故应该选择方式A

解法2：比较两种方式实际收益。对方式A和方式B，一个货币单位的本金经过5年投资后其价值分别为 aA(5)?(1?7)?1.4106 2aB(5)?(1?7.01%)5?1.4032

显然aA(5)﹥aB(5)，故应选择方式A.

例六：在如下两种情况下计算投资100元在第2年的终值，第一种,季换算名利率为6%，第二种，每四年换算一次的名贴现率为6%

i(4)4?2)?112.65 元 解：第一种，终值为100?(1?4

第二种，终值为100?[(1?4d

11()44?2)]?114.71 元

2 有关利息的基本计算

2.1几种计算方法

（1）等时间法（未知时间问题）

一个关于利息的问题包括四个基本的量：原始投资的本金、投资时间、利率、本金在投资期末的最终值，其中任意三个量的大小都能够决定第四个量的大小，另外在计算利息的时候，我们解求值方程最有力工具为时间图，如下:

上图所表达的意思就是某个人先获得(或是借贷)500元，按分期付款偿还.第一、

\ ?\表示的是比较日期。（注：二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号

比较日就是不同时间段的货币量没有办法直接区分大小而必须将这些量贴现计算到一个共同日期，比较日即是这个共同日期。）

有时会有这样的状况发生，需要找到一个时刻，使在这个时刻上的一次付款等于在不同时刻的几次付款。

例七：假设5%的实际利率，预定在第2, 3, 8年末分别付款100元、200元、和500元，请通过计算后得到一个一次付款800元的时间，令之与前几次付款的金额相同。

解：设在t时刻付款

800vt?100v2?200v3?500v3 其中 v?1ln0.75236?5.832 t??1.05ln1.05

注：总结上面问题可以得到：如果在时刻t1,t2,…,tn分别付出金额s1,…sn,计

算出时间t，使在该时间付出和上述分次付款相等。那么它的求值方程为:

?n?t ??si?v?s1vt1?s2vt2?????snvtn ?i?1??n?n?ti?ln??siv??ln??si???i?1?t??i?1 lnn这种方法求t也叫精确方法。在生活当中，想要简便计算，那么t 可以通过近似计算每个付款的加权平均这一方法，其中权就是每次付款的金额，所以

t?s1t1?s2t2?????sntn 也为等时间法，可以证明 t?t，换句话说，就是用等时间法

s1?s2?????sn的现时值小于真实的现时值来证明。 （2）未知利率问题

①直接对价值方程进行指数或对数计算法：

例八：季度转换率是多少才能够让1000元在6年内增加到1600元？ 解：设季度转换利率为i(4)，：有

i(4)4?6)?1600?i(4)?7.91% 1000(1?4 ②代数法：

例九：已知第2年底的2000元加上第4年底的3000元得现金总额为4000元，计算年利率。

解：设年利率为i，那么得到价值方程为

4000?2000v2?3000v4 ， v?(1?i)?1 也可以这样表示： 3v4?2v2?4?0 ，v?(1?i)?1 解出方程，得 v2?0.868517 ③线性插值的递推或迭代法

例十：假设目前投入资金1000元，3年后再投入资金2000元，要想在10年后得到5000元，计算半年度转换利率。

i?7.30﹪