南京师范大学附属中学2020届高三考前模拟考试数学试题

2020届南京师大附中高三年级模拟考试

数学

2020.05

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1. 已知集合A??1,2,3,4?,B??x|x2?x?2?0?，则AB? .

2. 已知复数z满足z?1?i??3?i，其中i是虚数单位，则复数z的模z? . 3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车的时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车的辆数为 .

4.如右图所示的流程图中，输出S的为 . 5．函数f?x??log1?2x?3?的定义域是 .

26.袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .

7.已知正四棱锥的底面边长为4cm，高为5cm，则该四棱锥的侧面积是 cm2.

?x?y?4?8.设变量x,y满足约束条件?y?x，若目标函数z?ax?y的最小值为-2，则

?x?1?a? .

9.设函数f?x??

3?3sin2?x?sin?xcos?x???0?，且y?f?x?的图象的一个对称中心到2- 1 -

最近的对称轴的距离为

????，则f?x?在区间??,0?上的最大值为 . 4?4?S21? . S1410.设Sn是等比数列?an?的前n项和，若满足a4?3a11?0，则11.若b?a?1，且3logab?6logba?11，则a3?2的最小值为 . b?12212.已知P是圆x2?y2?1上一动点，AB是圆?x?5???y?12??4的一条动弦（A,B是直径的两个端点），则PA?PB的取值范围为 .

13.设f?x??ax?4x3，对?x???1,1?总有f?x??1，则a的取值集合为 . 14.在?ABC中，已知边a,b,c的对应角分别为A,B,C，若

2sin2B?3sin2C?2sinAsinBsinC?sin2A，则tanA? .

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15.（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

2?sinC?sinA??sinB. （1）求

b的值； c?a3，求?ABC的面积. 2（2）若b?2,BA?BC?

16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，（1）若M是PB的中点，求证：CM//平面PAD； （2）若AD?ABB,C?PC，求证：平面PAC?平面

CD//AB,AD?PBC.

17.（本题满分14分）园林管理处拟在公园某区域设一半径为r米，圆心角为?（弧度）的扇形观景水O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造

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规划建池，其中想的无价为每

平米400元，步道造价为每米1000元.

（1）当r和?分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.

18.（本题满分16分）

?53?25x2y2 平面直角坐标系中，椭圆C:2?2?1?a?b?0?过点?，离心率为. ,???5ab?22?（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点K?2,0?作一直线与椭圆C交于A,B两点，过A,B两点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A1,B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

19.（本题满分16分）设f?x??ex?sinx?ax,x??0,2??，（a为常数） （1）当a?0时，求f?x?的单调区间；

（2）若f?x?在区间?0,2??内的极大值、极小值各有一个，求实数a的取值范围.

20.（本题满分16分）设?an?为各项均不相等的数列，Sn为它的前n项和，满足

点，

?nan?1?Sn?1?n?N?,??R?.

（1）若a1?1,，且a1,a2,a3成等差数列，求?的值；

（2）若?an?的各项均不为零，问当且仅当?为何值时，a2,a3,a4,试说明理由.

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,an,成等差数列？

2020届南京师大附中高三年级模拟考试

数学附加卷

21.【选做题】在A,B,C,D四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为O的直径，D为O上一点，过D作O的切线交AB的延长线于点C,若DA=DC,求证：AB=2BC.

B.选修4-2：矩阵与变换

?1?1? 已知矩阵A??，其中a?R，若点P?1,1?在矩阵A的变换下得到点P??0,?1?，求矩??a1?阵A的两个特征值.

C.选修4-4：坐标系与参数方程

??x?2cos? 已知P是曲线C:?（?为参数，????2?）上一点，O为原点，若直线OP

??y?3sin?的倾斜角为

?，求点P的直角坐标. 3

D.选修4-5：不等式选讲

已知实数x,y满足x?y?z?2，求2x2?3y2?z2的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）

某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A发生的概率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

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