2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆教案文新人教A版

A.

3 3

B.

3 2

C．2 D．1

2

2

πxy(2)(2020·石家庄质量检测(二))倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦

4ab→→

点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( )

A.C.3 22 2

B.2 33 3

D．

→→→

【解析】 (1)|MF1＋MF2|＝2|MO|＝23， →

所以|MO|＝3＝c，所以MF1⊥MF2，

??|MF1|＋|MF2|＝4c＝12，?解得|MF1||MF2|＝2， ?|MF|＋|MF|＝2a＝4，12?

2

2

2

1

所以三角形的面积S＝×|MF1|×|MF2|＝1.

2

xy??2＋2＝1222

(2)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得?ab，所以(b＋a)y??y＝x－c＋2bcy－b＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，－2bcy1＋y2＝22

a＋b→→

y2)，则，又AF＝2FB，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，4

－by1y2＝22

a＋b2

4

2

22

?????

??14c2

可得?，所以＝，所以e＝，故选B.

2a＋b3－b??－2y＝a＋b2

4

2

2

2

2

2

2

－2bc－y2＝2

a＋b2

2

【答案】 (1)D (2)B

解决椭圆中与向量有关问题的方法

(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．

(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．

x2y2

已知F1，F2为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个

ab→→1→2

端点，BF1·BF2≥F1F2，则椭圆的离心率的取值范围为( )

4

?1?A.?0，? ?2?

C.?0，

B.?0，

??2?? 2?

??3?? 3?

?1?D．?，1? ?2?

→→1→2

解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，因为BF1·BF2≥F1F2，

4所以b≥2c，又因为b＝a－c，所以a≥3c，所以0<≤

2

2

2

2

2

2

2

ca3. 3

核心素养系列18 数学运算——“设而不求”求解直线与椭圆的问题

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学．

已知椭圆＋y＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为 ．

2【解析】 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，则有＋y1＝1，

2

x2

2

x21

2

x22

2

＋y2＝1.

（x2－x1）（x2＋x1）

两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，

2

2

y2－y1

＝kAB， x2－x1

代入后求得kAB＝－.

2y0

即2＝－，所以x0＋4y0＝0.

2y0

x0

x0

x2?x?2

故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y＝1得＋?－?＝1，

x2

2

2

2

?4?

444

解得x＝±，又中点在椭圆内，所以－

333

?44?【答案】 x＋4y＝0?－

“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；

(2)根据题意，整体消参或整体代入等．

已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y＝1交于不同的两点A，B，

4

x2

2

AB中点横坐标为，则k＝ ．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

12

y＝k（x－1），??2由?x 2

＋y＝1，??4

得(4k＋1)x－8kx＋4k－4＝0， 因为直线l过椭圆内的定点(1，0)， 8k所以Δ>0，x1＋x2＝2，

4k＋1所以

2

2

2

2

2

x1＋x2

24k112

＝2＝，即k＝， 4k＋124

2

1

所以k＝±.

21

答案：±

2

[基础题组练]

x2y2

1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )

m3

A．(1，＋∞) C．(3，＋∞)

B．(1，3)∪(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)

y＝x＋2，??22

2

解析：选B.由?xy得(m＋3)x＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且

＋＝1，??m3m≠3.

2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，

43若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )

3A．± 21C．± 2

2B．±

3D．±2

x2y2

解析：选A.由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，

33

不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得

22

k＝；同理可得当k<0时k＝－.

3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原

54点，则△OAB的面积为( )

4A. 35C. 4

5B. 310D．

3

3232

x2y2

解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.

xy??＋＝1，11?54?联立?54解得交点A(0，－2)，B?，?，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝

22?33???y＝2x－2，

4?5?×1×?－2－?＝，故选B.

3?3?

22

x2y2

4．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为

ab5

，则椭圆C的方程为( ) 5

4xyA.＋＝1 255C.＋＝1 95

2

2

B.＋＝1 54D．＋＝1 2520

2

2

2

2

2

22

x2y2x2

x2y2y2

解析：选B.将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a＋b)x＋6ax＋9a－ab＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a)－4(a＋b)(9a－ab)＝0，化简得a＋b＝9.5ca－b5b422

又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则2＝，解得a＝5，b＝4，所以椭圆的

5aa5a5方程为＋＝1.

54

5．直线l过椭圆＋y＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O2为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( )

A.2 23 2

B．±D．

2 2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

x2y2

x2

2

C．±3 2