北京市昌平区2019届高三第一学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}

C．{x|0＜x＜1}

D．{x|1＜x＜2}

2．设x，y满足，那么2x﹣y的最大值为（ ）

A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1

3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．设是单位向量，是非零向量，则“⊥”是“?（+）＝1”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 5．设P，Q分别为直线则|PQ|的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（t为参数）和曲线C：

（θ为参数）上的点，

6．数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5＝b5，则（ ） A．a3+a7＞b4+b6 C．a3+a7＜b4+b6

B．a3+a7≥b4+b6 D．a3+a7＝b4+b6

7．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，

问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？

已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）

A．21斛 B．34斛 C．55斛 D．63斛

8．设点F1，F2分别为椭圆

的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得

成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是（ ）

A．

B．3

C．5

D．8

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝ ． 10．已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为 ；若双曲线个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是 ． 11．已知

展开式中x5的系数为21，则实数a的值为 ．

（a＞0）的一

12．能说明“若点M（a，b）与点N（3，﹣1）在直线x+y﹣1＝0的同侧，则a2+b2＞2”是假命题的一个点M的坐标为 ． 13．已知函数f（x）＝sinx若对任意的实数

使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是 ．

，都存在唯一的实数β∈（0，m），

14．已知函数其中a＞0，且a≠1．

（i）当a＝2时，若f（x）＜f（2），则实数x的取值范围是 ；

（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）若△ABC的面积为（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求

的值．

，

，且∠A为锐角．

16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，

．

（Ⅰ）求证：AB∥EF；

（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值．

17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表： 汽车型号 回访客户（人数） 满意率 I 250 0.5 II 100 0.3 III 200 0.6 IV 700 0.3 V 350 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．

假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．

（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；

（Ⅱ）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；

（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1＝0”，“η2＝0”，“η3＝0”，“η4＝0”，“η5＝0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．

18．（13分）已知椭圆过点，离心率为．记椭圆C的

右焦点为F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求x0的取值范围． 19．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．

（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

20．（14分）已知集合A＝{x|x＝2n+1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，C＝A∪B．对于数列{an}，a1＝1，且对于任意n≥2，n∈N*，有an＝min{x∈C|x＞an﹣1}．记Sn为数列{an}的前n项和． （Ⅰ）写出a7，a8的值；

（Ⅱ）数列{an}中，对于任意n∈N*，存在kn∈N*，使a

＝2n﹣1，求数列{kn}的通项公式；

（Ⅲ）数列{an}中，对于任意n∈N*，存在k∈N*，有ak+1＝2n+1．求使得Sk+1＞27ak+1成立的k的最小值．