求二元函数极限的几种方法

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学士学位论文

求二元函数极限的几种方法

学生姓名：祖拉来·热合曼 学 号：20080103049 系 部：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级：08-3班 指导教师：故丽巴哈尔·穆罕默德艾力 完成日期：2013年 4 月 23 日

学 士 学 位 论 文

BACHELOR ’S THESIS 摘要

人们对求一元函数极限的研究比较多，找到一些十分有效的方法，但对二元函数极限则重视不够。本文以二元函数为例，介绍几种求极限的方法。函数极限是高等数学中非常重要的内容。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。比如，极限的四则运算法则相同的，但是随着变量个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。但现教材、参考书关于二元函数极限求法不够详细，不便于初学者的学习与掌握，就此问题进行讨论。这篇论文主要对二元函数极限的求法与技巧进行了探讨。并通过具体实例子给出了求二元函数极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法本文对函数极限的几种方法进行了归纳。本文在计算一元函数极限方法的基础上,包括夹逼准则、极坐标、对数法、两个重要极限、洛必达法则讨论了二元函数极限进行对比归类，提出了一些求二元函数极限的技巧。

关键词：二元函数；累次极限；连续性；夹逼准则；恒等变形；有界量；

变量替换；极坐标；重极限

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BACHELOR ’S THESIS 目 录

摘要 ............................................................... 1 引 言 .............................................................. 1 1.二元函数极限概念分析 ............................................. 2 2．二元函数极限的求法 .............................................. 2

2.1 利用二元函数的连续性.................................................... 2 2.2 利用恒等变形法 ......................................................... 3 2.3 利用等价无穷小代换...................................................... 4 2.4 利用两个重要极限........................................................ 5 2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论 ............................ 6 2.6利用变量替换法 .......................................................... 6 2.7 利用夹逼准则 ........................................................... 7 2.8 先估计后证明法 ......................................................... 8 2.9 利用极坐标法 .......................................................... 10 2.10 利用累次极限法........................................................ 11 2.11 利用取对数法 ......................................................... 13 2.12运用洛必达法则求二元函数的极限 ........................................ 14 2.13利用定义求二元函数极限 ................................................ 14

总 结 ............................................................. 16 参考文献 .......................................................... 17 致 谢 ............................................................. 17

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BACHELOR ’S THESIS 引 言

函数极限是数学分析中非常重要且教育教学中难理解的内容之一，尤其是二元函数的极限。二元函数极限的求解问题，对刚接触二元函数的同学们来说，是一个难点。下面通过一些具体例题对二元函数极限的求法与技巧做一些讲解。 二元函数的极限虽然从定义、柯西准则到基本性质与一元函数极限理论基本上是平行的，但由于空间结构的变化,又显示出二元函数与一元函数极限的本质差异。这些差异,首先表现在重极限、累次极限关系上。虽然关于判断和计算二元函数极限上做了些研究且推出了很多方法，但这些方法中有一部分由于缺乏对二元函数极限的理解不深，混乱了重极限与累次极限和忽略它们的存在性出现了一些错误。这种情况对计算和学习二元函数带来有些困难。所以我为了学习和教学带来方便，本文简单的总结了计算二元函数极限的方法。

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