2020届高考数学大二轮复习专题三数列第3讲数列的综合问题练习文

第3讲 数列的综合问题

「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.

核心知识回顾

数列综合应用主要体现在以下两点：

(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．

(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．

热点考向探究

考向1 数列与函数的综合问题

例1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)，且不等式|f(x)|≤2019|2－x|对任意的x∈[0,10]都成立，数列{an}是以7＋a为首项，公差为1的等差数列(n∈N)．

(1)当x∈[0,10]时，写出方程2－x＝0的解，并写出数列{an}的通项公式(不必证明)；

x2

*

2

x2

?1? a**

(2)若bn＝an·??n (n∈N)，数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N，都有Sn

?3?

立，求m的取值范围．

解 (1)因为x∈[0,10]时，易知方程2－x＝0的解为x＝2，x＝4，

?|f?x2

由不等式|f(x)|≤2019|2－x|对任意的x∈[0,10]都成立，可得?

??|fx2

2|≤0，4|≤0，

即?

?f???f2＝4＋2a＋b＝0，

4＝16＋4a＋b＝0，

??a＝－6，

解得?

??b＝8，

2

所以f(x)＝x－6x＋8，

又数列{an}是以7＋a＝1为首项，公差为1的等差数列， 所以an＝n.

?1? a?1?n(2)由(1)知bn＝an·??n＝n·??，

?3??3?

- 1 -

1?1?2?1?3?1?n所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1·＋2·??＋3·??＋…＋n·??，①

3?3??3??3?1?1??1??1??1?Sn＝1·??2＋2·??3＋3·??4＋…＋n·??n＋1，②

3?3??3??3??3?

11?

1－n???

1?n1?n＋13?3?21?1?2?1?3???1?n＋11?1?①－②得，Sn＝＋??＋??＋…＋??－n·??＝－n·??＝?1－n?－

33?3??3?12?3??3??3??3?

1－3

n3

n＋1，

32n＋32n＋33

整理得，Sn＝－n，由n>0可得Sn<，

44·34·343

由Sn

4

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．

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已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,1)，b＝??n1?2－1，2???，满足条件a∥b.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设函数f(x)＝??11?2??x?

，数列{bn}满足条件b1＝1，f(bn＋1)＝

f－bn－1

.

①求数列{bn}的通项公式；

②设cbnn＝a，求数列{cn}的前n项和Tn. n解 (1)∵a∥b，∴12S2n－1，Sn＋1

n＝n＝2－2.

当n≥2时，ann＝Sn－Sn－1＝2；

当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式，∴an＝2n.

(2)①∵f(x)＝??1??x1

?2?

，f(bn＋1)＝

f－1－b，

n∴??1111?2???bn＋1＝?，∴?12bn＋1＝21＋bn.

?2???－1－bn∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1.

又∵b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝n.

②cbnn12n－1nn＝a＝n，Tn＝21＋22＋…＋2n－1＋2

n，

n2两边同乘1112n－1n2得，2Tn＝22＋23＋…＋2n＋2n＋1，

上述两式相减得1112T＝11nn21＋22＋23＋…＋2n－2

n＋1 - 3 -

1?1?1－n??2?2?nn＋2n＋2*

＝－n＋1＝1－n＋1，∴Tn＝2－n(n∈N)．

12221－2考向2 数列与不等式的综合问题

例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0且2Sn＝an＋an(n∈N)．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)若an>0，令bn＝的最小值．

解 (1)当n＝1时，2S1＝a1＋a1，则a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

2

2

*

an4

，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn

a2a2n＋ann－1＋an－1

2－

2

，

即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0?an＝－an－1或an＝an－1＋1， ∴an＝(－1)

n－1

或an＝n(n≥2)，

n－1

又a1＝1满足上式，所以an＝(－1)(2)由an>0，∴an＝n，bn＝

或an＝n，n∈N.

*

n1?4?1

＝2?－?， n＋2?nn＋2?

－Tn＝2??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?－＝2?1＋－?＝3－

32435nn＋2??2n＋1n＋2

????

1??11??11?

?????

?1?

1??

??

??

11

1?

?

4n＋6

<3，若Tn

n＋1n＋2

(1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法

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