河南省鹤壁市综合高中·2019届高三上学期第四次段考试题 数学(理)

4km2m2?8，x1x2?∴x1?x2?? 1?2k21?2k22m2?8?4kmm2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k??km??m? 1?2k21?2k21?2k22∵kOMkON??yy11 ，∴1?2?? x1x222m2?8k212m2?8????m2?4k2?2 即221?2k21?2k2m2?9m2?8k24 OA?OB?x1x2?y1y2???2?1?2k21?2k21?2k2∴?2≤OM?ON?2.

②当直线MN的斜率不存在时，设M(x1，y1)，则N(x1，－y1) 则kOMkONx12y12y12122??1， ??2???x1?2y1，又x1284∴y12?2 ，OM?ON?x12?y12?y12?2, 综上①、②可知OM?ON的最大值为2．

22. （本小题满分12分）

解：（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1） ∴f′（x）=

﹣k，

当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数， 当k＞0时，令f′（x）=0，得x= 当f′（x）＜0，即1＜x＜当f′（x）＞0，即x＞

时，函数为减函数， 时，函数为增函数，

综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数， 当k＞0时，函数f（x）在（1，

）为减函数，在（

，+∞）为增函数．

（Ⅱ）由（1）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，

当k＞0时，函数f（x）在（1，当x=

时，f（x）取最大值，f（

）为减函数，在（）=ln≤0

，+∞）为增函数．

∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞） （Ⅲ）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2

·9·

∴∵lnn= n?1＜1﹣，

=

+…+

＜+++…+

=

＜

，（n∈N，n＞1）.

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取x=3，4，5…n，n+1累加得 ∴

·10·