数学同步练习题考试题试卷教案迎春杯六年级初试模拟题

2010年“数学解题能力展示”初赛六年级模拟题

1． 计算：

1??111??111??111??11????????????????2???????? ． 2142??2232152??1222152??2232142??121111111【分析】 设a?2?2??2，b?2?2??2?2，

23142314151则原式??1?a?b??1?b?a?b?ab?a?ab?b?a?．

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2． 将1999分成77个质数之和，要让其中最大的质数和最小的质数相差最少，那么最大的质数与最

小的质数的差是 ． 【分析】 1999?77?25...74，也就是说质数里面必须有大于25的和小于25的，为了尽量接近，则应当取

接近25的质数23和29．经检验，39个23和38个29恰好满足．所以差最小为6．

3． 五年级4个班举行作文竞赛，小明猜想的比赛结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4

班第四名．小华猜想的名次排列是：2班、4班、3班、1班．结果只有小华猜想到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的第一名至第四名依次是 ． 【分析】 根据题意，4班第2是对的；第1名不是3班也不是2班，只能是1班；第3名不是3班，只能

是2班；第4名是3班．即名次顺序为：1班，4班，2班，3班．

4． 甲、乙、丙三人去买书，每人都花了整数元，甲花的钱为其他两人花钱总数的

的

1，乙花的钱是丙44，已知三人花的总钱数在100～150元之间，那么丙花了 元钱． 741111111【分析】 把丙花的钱数看作“1”，那么乙花的就是，乙、丙花的钱数之和就是，甲花的就是??，

774287111155他们三人所花的总钱数就是?，可见三人所花的总钱数是55的倍数． ?7282855由于100～150之间只有110是55的倍数，所以他们一共花了110元，那么丙花了110? ?56元．

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5． 9点 分时，时针和分针分别在“9”的两边，且离“9”距离相等． 【分析】 由于两针与“9”距离相等，所以从9点整到所求时刻，两针共走5?9?45(格)，由于分针每分钟走

1格，时针每分钟走

6． 如图，BC是半径为6的圆O上的弦，且BC的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点，且OA与

BC平行，那么图中阴影部分的面积是 ．(π?3)

1?717?格，所以需要45??1???41(分钟)，即所求时刻是9点41分．

131312?12?BCBCOAOA

【分析】 由于OA与BC平行，如果连接OB、OC，那么可以知道?ABC的面积等于?OBC的面积，于是

把求阴影部分的面积转化为求扇形BOC的面积．

如右图，连接OB、OC．

由于OA与BC平行，所以?ABC的面积等于?OBC的面积，那么阴影部分的面积就等于扇形BOC的面积．

而BC的长度与圆的半径相等，即与OB、OC相等，所以?OBC是等边三角形，那么?BOC为

6060?．扇形BOC的面积为π?62??18，所以阴影部分的面积为18．

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7． 一个非零自然数列，第一项是8，第二项是1，从第三项起每一项等于它前面两项之和，那么该

数列第1234项被35除的余数是 ． 【分析】 35?5?7，可以通过分别求被5和7除的余数而得到．

被5除的余数：3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，3，3，1，……每20项一循环，1234被20除余14，所以该项被5整除．

被7除的余数：1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0，1，1，……每16项一循环，1234被16除余2，所以该项被7除余1．

经试验，15被5整除且被7除余1，也就是说该数列第1234项被35除余15．

4?18??2???16??8． 乘积?1????2?????8????9??的计算结果的最后两位数字之和是 ．

5?19??3???17??57921【分析】 原式?1??2??3???9??9!?7．

357199!?7显然其个位为0，十位为 ?1?3?4?6?7?8?9?7的个位，即6．所以末两位数字之和是6．

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9． 一个整数与12的和能整除该整数的平方，那么这个整数最大可能是 ．

x22【分析】 设原整数为x，由于(x?12)能整除x的平方，所以是整数，联系平方差公式，

x?1222xx?144?144144144可知，故是整数，即(x?12)整除144，所以(x?12)??x?12?x?12x?12x?12x?12最大为144，x最大为144?12?132．

10． 甲、乙两个三位数的乘积是个五位数，这个五位数的后四位为1031，如果甲数的数字和是10，

乙数的数字和是8，那么甲、乙两数的和是 ．

【分析】 采用弃九法．由于甲乙两数的数字和分别为10和8，可知它们除以9的余数分别为1和8，所以

它们的乘积除以9的余数为1?8?8，即这个五位数除以9的余数为8，而它的后四位为1031，所以首位必定是3，这个五位数为31031．

将31031分解质因数：要分成两个三位数的乘积，只能是(7?31)?(11?13)，31031?7?11?13?31，即两个三位数分别为7?31?217和11?13?143，它们的和为217?143?360．

11． 字母A、B、C、a、b、c代表六个不同的数字，且4?AaBbCc?7?aAbBcC，那么AaBbCc的

最小值是 ．

4?A?105?4?a?104?4?B?103?4?b?102?4?C?10?4?c【分析】 根据题意可知，

5432?7?a?10?7?A?10?7?b?10?7?B?10?7?c?10?7?C整理得：33?104?A?33?102?B?33?C?66?104?a?66?102?b?66?c，

也就是：10000A?100B?C?20000a?200b?2c，

由于10000A?10000A?100B?C?20000a?200b?2c?20000a?10000，即A?2a?1；

10000A?10000A?100B?C?10000?20000a?200b?2c?10000?20000a?10000，即A?2a?1；

由2a?1?A?2a?1可得A?2a． 同理可得B?2b，C?2c．

由于字母A、B、C、a、b、c代表六个不同的自然数，那么a最小为1，此时A为2；b最小为3，此时B为6；c最小为4，此时C为8．所以AaBbCc最小是216384．

12． 如果正整数n有如下性质：n的

111是一个平方数，是一个立方数，是一个五次方数，则n称235为希望数，那么最小的希望数的约数有 个． 幂次应该是奇数，且被3和5整除，可知最小为15；

【分析】 因为尽量小，所以n应当不含有2，3，5以外的质因数．根据题意，n的质因数分解式中，2的

同理，3的幂次除以3余1，且能被2和5整除，最小为10；5的幂次除以5余1，且能被2和3整除，最小为6，所以最小的希望数为215?310?56．

所以最小的希望数的约数有(15?1)?(10?1)?(6?1)?16?11?7?1232个．

13． 有一个十位数是由0到9这十个数字组成的，而且具有这样的性质：前两位数字组成的数能被2

整除，第二、三位数字组成的数能被3整除，……，第八、九位数字组成的数能被9整除，第九、十位数字组成的数能被10整除．那么这样的十位数有 个． 【分析】 设这个十位数为ABCDEFGHIJ，则显然J?0，B，D，F，H是2，4，6，8的一个排列，因E?5．

为CD被4整除，GH被8整除，而C和G是奇数，所以D和H是2和6中的，而B和F是4和8中的．

EF被6整除，所以F?4，FG被7整除而G是奇数，所以G?9，GH被8整除，所以H?6，HI被9整除，所以I?3．剩下B?8，D?2，还剩下1和7，A和C怎么取都可以．所以，所

求的十位数有1872549630及7812549630，共2个．

14． 如图，点E是正方形ABCD边CD上的点，以BE为一条直角边作等腰直角三角形BEF，斜边BF交AD于G，已知AG?5，GD?15，那么等腰直角三角形BEF的面积是 ．

FAGDEAGHFDMENBC

【分析】 如图，由于ABCD是正方形，而且AG:GD?5:15?1:3，所以G是AD的一个四等分点，将正方

BC形ABCD各边四等分并作出格点，M、N为正方形外部的两个格点，其中DM?MN?AG?5． 过G点作BF的垂线，则该垂线将通过正方形ABCD外部的格点N．

此时?GBN为等腰直角三角形，所以?GBN?45?；由于?GBE?45?，所以E点在BN上． 过N作CD的垂线，垂足为H．则HN与BC平行，且HN?5，BC?20，根据相似性，

4HE:EC?HN:BC?1:4，又HC?15，所以EC?15??12．

5根据勾股定理，BE2?BC2?CE2?202?122?544，

11所以等腰直角三角形BEF的面积为：?BE2??544?272．

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15． 如果一个正整数能够写成三个大于1且两两互质的正整数的和，就称为“奇异数”．把所有的“奇

异数”从小到大排成一列，那么第2009个“奇异数”是 ． 【分析】 奇异数分成的三个数至多有一个偶数，所以把原数分成奇偶两种情况考虑．

⑴如果原数是偶数，则因为任何两个连续奇数互质，只要分成2和两个连续奇数或者4和两个连续奇数即可，而一个偶数和两个奇数的和至少是2?3?5?10．所以，偶的奇异数是10及10以上的所有偶数．

⑵如果原数是奇数，必须分成三个奇数．原数是3的倍数时，拆成三个连续奇数即可，此时至少是15，而9无法拆分；

如果原数不是3的倍数，则模仿上面的方法，应该拆成尽量接近的数，即n，n?2，n?6或者n，只要n不是3的倍数，就两两互质；如果n是3的倍数，只要略加调整即可，即n?2，n?4，n?6．

n?4，n?6或者n，n?2，n?8．

由于三个奇数的和至少是3?5?7?15，对15以后的奇数分别验证上述情况，可以发现，除了17以外都能表示成三个大于1的两两互质的奇数的和．所以，奇的奇异数是15及15以上、除了17以外的所有奇数．

所以，奇异数依次写出来是10，12，14，15，16，18，19，……，从18开始所有的自然数都是奇异数，而18是第6个奇异数，所以第2009个奇异数是2021．