课时跟踪检测(二十九) 等差数列

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11

令an≥0，解得n≤，因此使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.

2答案：5

9．(2018·启东期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26. (1)求an及Sn；

Sn(2)令bn＝n(n∈N*)，求证：数列{bn}为等差数列． 解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d， ∵a3＝7，a5＋a7＝26.

??a1＋2d＝7，∴? ??2a1＋10d＝26，

解得a1＝3，d＝2，

∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， n?a1＋an?n[3＋?2n＋1?]Sn＝＝＝n(n＋2)．

22Snn?n＋2?

(2)证明：∵bn＝＝＝n＋2，

nn

bn＋1－bn＝n＋3－(n＋2)＝1. ∴数列{bn}为等差数列．

10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn

an＋1＋an＋2SnSn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*.

nn2

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 解：(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列， Sn所以an＝a1＋2(n－1)，n＝a1＋n－1. 因为(n＋2)cn＝

a1＋2n＋a1＋2?n＋1?

－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.

2

Sn(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－n，

得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.

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an＋1＋an＋2Snan＋1＋an＋2an＋2－an＋1

从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋

n222?n＋2?bn＋1－nbnn＋2

1)bn＝＋(n＋1)bn＝(bn＋bn＋1)，

22

1

因此cn＝(bn＋bn＋1)．

2

因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，

1

所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.

2Sn所以(n＋1)λ＝an＋1－，

n

① ②

Sn1

(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－n，

2

1

②－①得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，

2故an＋1－an＝2λ(n≥2)．

S1又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．

1所以数列{an}是等差数列．

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1．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S1，S5，S7成等差数列，所以S1＋S7＝2S5，则a1

＋7a1＋21d＝2(5a1＋10d)，解得d＝2a1，因为a3＝5，所以a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.

答案：2n－1

11

2．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝(n

2an＋1∈N*)，则b1·b2·…·b2 018＝________.

解析：由an＋bn＝1，得an＋1＋bn＋1＝1，即bn＋1＝1－an＋1，把bn＋1＝1－an＋1代入bn

＋1＝

?1?111

，化简可得－a＝1，所以?a?是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{an}

??nn1＋anan＋1

的通项公式为an＝

n11

，所以数列{bn}的通项公式为bn＝，所以b1·b2·…·b2 018＝. 2 019n＋1n＋1

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答案：

1 2 019

3．(2018·南京学情调研)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)设数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝①求数列{bn}的通项公式；

②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0.

1

. anan＋1

???a1＋d??a1＋2d?＝15，

由a2·a3＝15，S4＝16，得?

?4a1＋6d＝16，????a1＝1，?a1＝7，

解得?或?(舍去)．所以an＝2n－1.

?d＝2???d＝－2

(2)①因为b1＝a1＝1， bn＋1－bn＝

1

＝ anan＋1?2n－1??2n＋1?1

1?1－1?＝?2n－12n＋1?， 2??11

1－?， 即b2－b1＝?2?3?111?－， b3－b2＝?2?35?…

1?1－1?

bn－bn－1＝?，n≥2，

2?2n－32n－1??1?1－1?n－1

累加得bn－b1＝?2n－1?＝，

2??2n－13n－2

所以bn＝b1＋＝1＋＝.

2n－12n－12n－1

3n－2

，n∈N*. 2n－1

n－1

n－1

又b1＝1也符合上式，故bn＝

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②假设存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2＋bn＝2bm. 3n－234131

又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，

3222n－14n－24m－2

7n－2?3－1?4?3－1?111

所以＋?24n－2?＝2?24m－2?，即＝＋，化简得2m＝＝7－

3????2m－164n－2n＋19. n＋1

当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2(舍去)； 当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．

所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．