高中数学(人教A版)选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题(含详解)

＝4w3＝4.

22．设z1，z2∈C，

(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2； (2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.

解 (1)证明 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2

＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2 ＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2 ＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2 ＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，

又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)， 故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2. (2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2， ∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52. ∴|z1－z2|2＝68－36＝32. ∴|z1－z2|＝42.