高中数学(人教A版)选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题(含详解)

C．1＋2i，或－1－2i D．2＋i，或－2－i

解析 若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i.

答案 C

12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )

A．|z－z|＝2y C．|z－z|≥2x

解析 ∵z＝x＋yi，(x，y∈R)， 则z＝x－yi，∴z－z＝2yi， ∴|z－z|＝|2y|≥2y，故A、C错．

又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B错．因此，正确答案为D. 答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

2＋i

13．复数的共轭复数是________．

1＋i2＋i?2＋i??1－i?3－i31解析 ＝＝2＝2－2i.

1＋i?1＋i??1－i?31

∴共轭复数为2＋2i. 31答案 2＋2i 14．若z1＝1＋i，z1·z2＝2，则z2＝__________. 解析 ∵z1＝1＋i，z1·z2＝2，

B．z2＝x2＋y2 D．|z|≤|x|＋|y|

2

∴z2＝＝1－i.

1＋i∴z2＝1＋i. 答案 1＋i

15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部是________．

解析 (z1－z2)i ＝[4＋29i－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i.

∴(z1－z2)i的实部是－20. 答案 －20

16．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，|z1－z2|＝22，则|z1＋z2|＝________.

解析 由复数及模的几何意义知，以z1，z2对应向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1＋z2|＝|z1－z2|＝22.

答案 22

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

a＋2a－152

17．(10分)要使复数z＝a－a－6＋i为纯虚数，实数

a2－4

a是否存在？若存在求出a的值；若不存在说明理由．

解 若z为纯虚数，则

2a?－a－6＝0， ①

?2

?a＋2a－15??a2－4≠0，

②

由①解得a＝3，或a＝－2，

分别代入②都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数a. 18．(12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2.

解 由(z1－2)i＝1＋i得， z1＋i

1－2＝i＝(1＋i)(－i)＝1－i， ∴z1＝3－i.

依题意可设z2＝x＋2i(x∈R)，

则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数， ∴x＝6，∴z2＝6＋2i.

19．(12分)复平面内关于原点对称的两点对应的复数为z1，且满足3z1＋(z2－2)i＝2z2－(1＋z1)i，求z1，z2的值．

解 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a－bi， ∴3z1＋(z2－2)i＝2z2－(1＋z1)i.

∴3(a＋bi)＋(－a－bi－2)i＝2(－a－bi)－(1＋a＋bi)i， 即(3a＋b)＋(3b－a－2)i＝(－2a＋b)－(2b＋a＋1)i，

∴???3a＋b＝－2a＋b，??

3b－a－2＝－?2b＋a＋1?.

解得a＝0，b＝1115，∴z1＝5i，z2＝－5i. 20．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根. (1)求a，b的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根． 解 (1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根， ∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，

z2，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，

???a＋b＝0，?a＝－2，∴?∴? ???a＋2＝0，?b＝2.

∴a，b的值分别为a＝－2，b＝2. (2)方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程

左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2 ＝0显然方程成立． ∴1－i也是方程的一个根． 1321．(12分)设w＝－2＋2i， (1)求证：1＋w＋w2＝0；

(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)． 13

解 (1)证明 ∵w＝－2＋2i， 132

∴w＝(－2＋2i)

2

1133＝4＋2(－2)(2i)＋(2i)2 13313＝4－2i－4＝－2－2i.

1313

∴1＋w＋w2＝1－2＋2i－2－2i＝0. (2)由1＋w＋w2＝0知， (w－1)(1＋w＋w2)＝0， ∴w3－1＝0，∴w3＝1. ∴(1＋w－w2)(1－w＋w2) ＝(－2w2)(－2w)