函数y=Asin（ωx+φ）的图象中的一类典型错误

函数y＝Asin(ωx＋?)的图象中的一类典型错误

形如y＝Asin(?x＋?)的函数是三角函数中最基本、最重要的函数形式，一直是中学数学的重点和难点内容之一，也是高考的热点问题之一.为帮助同学们更好地理解该函数，现列举出五类典型错误并结合实例进行分析，以期引起大家的注意.

误区一：有关概念记忆不牢而致错

?

例1求函数y＝3sin(－2x＋)的初相和相位.

3??

错解：相位是－2x＋，初相是. 33

剖析：对函数y＝Asin(?x＋?)的初相和相位是定义是定义在“A＞0，?＞0，x∈[0,＋

∞)”下的.因此，上述错解忽视了定义中的条件.正确解法应先利用诱导公式把函数转化为符合定义中的形式.

????

正解：y＝3sin(－2x＋)＝－3sin(2x－)＝3sin[?＋(2x－)]＝3sin(2x＋)，故所

33332??

求函数的相位是2x＋，初相是. 33

特别提醒：求解函数y＝Asin(?x＋?)的初相和相位初相时，一定要注意定义要求的条

件A＞0，?＞0，x∈[0,＋∞).

误区二：未抓住平移对象而致错

??

例2将函数y＝sin(2x＋)的图象沿x轴向左平移个单位，求所得图象的解析式.

332???

错解：由条件知平移后的解析式为y＝sin(2x＋＋)，即为y＝sin(2x＋)的图象.

333剖析：此题出错率极高，主要原因是未抓住函数图象平移是针对自变量x而言的.将图???

象向左平移个单位，所得的解析应是y＝sin[2(x＋)＋]，即y＝sin(2x＋?)＝－sin2x.

333

?

例6为了得到y＝cos(3x＋)的图象,只需把y＝cos3x的图象( )

4?

A.向左移个单位

4位

??

错解：因为由y＝cosx图象向左平移个单位可得y＝cos(x＋),所以由y＝cos3x图象

44

??

向左平移平移个单位可得y＝cos(3x＋),选A.

44

剖析：函数图象“左右平移”即相位变换,平移的距离是相对自变量x而言,而不是相对???

3x而言的,因为y＝cos(3x＋)＝cos3(x＋),故将y＝cos3x图象向左平移个单位y＝

41212?

cos3(x＋)的图象,应选B.

12

特别提醒：函数图象向左平移?(?＞0)个单位，应为x＋?；向右平移?(?＞0)个单位，应为x－?，都是针对自变量x的，若自变量x前有系数，应把系数提出来.

误区三：求函数解析式时忽视作图法而致错

例3已知函数y＝Asin(?x＋?)(A＞0,|?|＜?)的一段图象如图所示，则函数的

?

B.向左移个单位

12

??

C.向右边移个单位 D.向右移个单412

解析式为( )

3??

B.2sin(2x－)或2sin(2x＋)

443?

D.2sin(2x－)

4

????

错解：由图象，知A＝2，∵＋＝，∵T＝?，?＝2，当x＝时，y＝0，

8848

??3?

即2sin(＋?)＝0，∴?＝－或，选B.

444?

A.2sin(2x－)

43?

C.2sin(2x＋)

4

?

剖析：对于函数y＝2sin(2x－)，取x＝0时，得y＝－2，所以经过(0,－2)，显

4然答案不正确.错误的原因在于，选择零点求出的?值对应的函数图象不具有唯一性，存在着关于x轴对称的两种图象.

3????

正解：当x＝－时，2sin(－×2＋?)＝2，sin(?－)＝1，?＝，故选C.

8844特别提醒：函数图象中的特征点为最高点和最低点，具有唯一性，而零点没有这样的性

质.为防止这类错误的发生只须在确定?时避免取零点，而取特征点.

陷阱四：伸缩变换中记忆不准而致错 1?

例4将函数y＝sin(x＋)的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，求所得图象的解析式..

321?错解1：y＝sin(x＋).

231?

错解2：y＝sin(x＋).

26

剖析：“错解1”错在变换公式记忆错误；“错解2”错误较多，不仅变换公式记忆错误，还不清楚变换是针对自变量x的.

?

正解：y＝sin(2x＋).

3

特别提醒：将函数y＝sin(?x＋?)的图象坐标不变，横坐标变为原来的?倍，则所得图11

象的解析式为y＝sin(x＋?)，注意只在自变量x前乘以，?不变.

??

陷阱五：抓不住对称变换中针对对象而致错

?

例5将函数y＝sin(x＋)图象关于y轴对称，求所得图象的解析式.

3

?

错解：∵函数y＝sin(x＋)图象关于y轴对称，∴所得函数的解析式为y＝sin(－x－

3?). 3

?

剖析：错在前也加了负号，将函数图象关于y轴对称，只是在自变量x前加负号，其

3他处都不变.

???

正解：y＝sin(－x＋)，即y＝－sin(x－)或y＝cos(x＋). 336

特别提醒：若将函数y＝sin(?x＋?)的图象关于y轴对称，所得图象的解析式为y＝

sin(－?x＋?)；若将函数y＝sin(?x＋?)的图象关于x轴对称，所得图象的解析式为y＝－

sin(?x＋?).

作 者：慕芸蔚

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